Mathematisches Verständnis: Intuitionen und Beweise

Ich denke, dass Cogsci mir helfen kann, ein Problem in der Philosophie der Mathematik zu studieren. Betrachten Sie diesen Fall (nach M. Detlefsen, Brouwerianischer Intuitionismus ):

Lucy hat die Art von Verständnis für ein bestimmtes mathematisches Fach S, das wir normalerweise mit dem Master-Mathematiker in Verbindung bringen. John hat eine hervorragende Fähigkeit, die Axiome für S mit logischen Mitteln zu manipulieren.

Problem: Gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen Lucys Wissen über S und Johns Wissen über S? Stimmt es, dass die zweite Art von Wissen die erste nicht impliziert? Stimmt es, dass Lucy S bis zu einem gewissen Grad versteht), John versteht S nicht bis zu einem gewissen Grad.

Gibt es Arbeiten in Cogsci, die mir helfen können, dieses Problem zu studieren?

Ich habe einen relativ alten Artikel gefunden (Arbib, A piagetian perspective on mathematische Konstruktionen ), aber sonst nichts.

Vielen Dank.

Wenn dies als logisches Argument angesehen wird, ist es vollständig kaputt. Es fehlt eindeutig eine Prämisse nach dem Motto "Meister der Mathematik haben die Fähigkeit, Axiome zu manipulieren". In seinem derzeitigen Zustand implizieren Sie Lucy und John weder irgendetwas, noch können Sie aus den von Ihnen bereitgestellten Details irgendetwas ableiten.
@Izhaki Ein Meistermathematiker manipuliert Axiome nicht wie in einem formalen System (z. B. Kalkül im Hilbert-Stil), um Theoreme abzuleiten. Selbst wenn sie ihr Ergebnis anderen mitteilen, liefern sie keinen Abzug in einem formalen System. Gewöhnlich wissen Meister der Mathematik nicht einmal, wie man ein formales System anwendet. Die meisten von ihnen wissen nicht einmal, was ein Kalkül im Hilbert-Stil ist. Viele Arbeiten zu den Grundlagen der Mathematik stützen sich jedoch auf formale Systeme. Man kann sich also die beiden obigen kognitiven Agenten vorstellen und sich fragen, ob und wie ihre epistemische Beherrschung von S unterschiedlich ist.
@Izhaki Noch eine Anmerkung: Ich präsentiere kein Argument. Ich gebe nur ein Szenario und frage, ob es in Cogsci Arbeiten gibt, die sich mit dem Problem der Charakterisierung des unterschiedlichen Verständnisses von S durch Lucy und John befassen. Vielen Dank.
Die Fähigkeit zur „Axiom-Manipulation“ hat ihren Einfluss auf die Kognition. Aus Ihren Kommentaren geht auch hervor, dass ein solches Werkzeug nicht von Mathematikern verwendet wird. Verzeihen Sie meine Unwissenheit, aber auf jeden Fall denke ich, dass es anderen helfen wird, wenn Sie näher erläutern, wie Mathematiker arbeiten oder denken.
@Izhaki. Ich war absichtlich vage in Bezug auf die Arbeitsweise von Mathematikern, weil ich hier Hilfe von Cogsci brauche. Sie sagen oft, dass sie sich auf Visualisierungen, Intuition, Vermutungen, Konstruktionen, mehr oder weniger standardmäßige Beweistechniken usw. verlassen. Und sie sagen oft, dass einfache Symbolmanipulation (nicht einmal das bloße Beweisen von Theoremen) kein Verständnis liefert. Was genau tun sie und was ist das, was sie Verständnis nennen? Hier bitte ich Cogsci um Hilfe.

Antworten (2)

Ich denke, es ist wichtig, hier klar zu machen, wozu John wirklich in der Lage ist. Wenn er nur die Axiome von S richtig manipulieren kann , bringt ihn das aus mindestens zwei Gründen eigentlich nicht sehr weit. (Das ist auch der Grund, warum Computerprogramme, die den Satz beweisen, erhebliche Einschränkungen haben.)

1) Angenommen, wir geben John einen bestimmten Satz P von S und bitten ihn, P zu beweisen. Kann er das? Nicht unbedingt. Es gibt eine Reihe logischer Schritte, die auf den Axiomen basieren, die P beweisen, also scheint es in Johns Reichweite zu liegen. Aber ein Problem hier ist das der Rechenkomplexität . Wenn John auf ungerichtete Weise versucht, neue Tatsachen von S aus den Axiomen abzuleiten, in der Hoffnung, schließlich zu P zu gelangen, wird die Anzahl der Pfade, die er gehen kann, exponentiell zunehmen, und es kann länger dauern als die Lebenszeit des Universums, damit er zu dem Ergebnis kommt. Master-Mathematiker auf dem Gebiet von S hingegen haben scharfe Intuitionen darüber, was wahrscheinlich ein effektiver Weg zu einem Beweis von P ist.

2) Mathematiker tun mehr, als zuvor spezifizierte offene Probleme zu lösen. Sie versuchen auch, wichtige neue Probleme zu generieren. Ein Mathematiker, der nicht sehr gut in formalen Beweisen ist, kann dennoch einen wesentlichen Beitrag leisten, indem er ein sehr interessantes Ergebnis richtig vermutet (auch wenn jemand anderes es beweisen muss).

1) und 2) überschneiden sich etwas; Beispielsweise kann ein Meister der Mathematik ein Lemma L in S vermuten, das für den Beweis von P äußerst nützlich ist.

Wenn John 1) und 2) nicht kann, dann ist es nicht klar, dass er wirklich sehr geschickt in S ist. Wenn er es ist, dann scheint es, dass er sich vielleicht doch nicht so sehr von Lucy unterscheidet; irgendwo hat er die richtigen Intuitionen. Vielleicht ist sich Lucy ihrer Intuitionen bewusster, was vielleicht zu einer Diskussion darüber führt, wie es ist , diese Intuitionen zu erfahren. Aber viele der Intuitionen von Meistermathematikern stammen nicht aus bewusster Verarbeitung; bestimmte Vorgehensweisen fühlen sich für sie einfach richtig an, aber sie können nicht unbedingt erklären, warum.

Einige Mathematiker haben über den Prozess der mathematischen Erfindung und über einige Methoden des plausiblen Denkens in der Mathematik geschrieben. Hier einige Referenzen:

Jaques Hadamard. Ein Essay über die Psychologie der Erfindung im mathematischen Bereich.

Georg Polya. Mathematik und plausibles Denken Band I: Induktion und Analogie in der Mathematik. Princeton University Press, 1954.

Georg Polya. Mathematik und plausibles Denken Band II: Muster plausibler Schlussfolgerungen. Princeton University Press, 1954.

Henri Poincaré. „Intuition und Logik in der Mathematik“. In: La valeur de la science. Hier verfügbar: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Poincare_Intuition.html .

Vielleicht finden Sie auch einige interessante Artikel von David Tall, dessen Forschungsgebiet mathematisches Denken ist: http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/

Wie von present angedeutet, finden Sie in diesem Artikel wenig über symbolische Manipulation und viel darüber, wie man neue und komplexe mathematische Probleme mit Analogie, Intuition und anderen ähnlichen kognitiven Werkzeugen angeht.

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