Maximale Leistungsübertragung in einem Wechselstromkreis

Stellen Sie sich eine Wechselspannungsquelle vor, die mit einer komplexen Impedanz (z) und einer Lastimpedanz in Reihe geschaltet ist. Die maximale Leistungsübertragung auf die Lastimpedanz tritt auf, wenn die Lastimpedanz gleich dem komplexen Konjugierten der Serienimpedanz (z) ist.

Was ich wissen möchte, ist, was die (mathematisch strenge) Ableitung davon ist?

Ich habe meine Elektrotechnik-Lehrbücher durchgesehen und kann keine gute Ableitung finden. Wenn Sie eine zur Verfügung stellen könnten, wäre ich sehr dankbar.

Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe.

Um die maximale Leistung in eine feste Lastimpedanz zu übertragen, machen Sie die Quellenimpedanz so klein wie möglich (um keine Leistung in der Quelle zu verschwenden). Die gleichen / konjugierten Impedanzen kommen ins Spiel, wenn Sie eine feste Quellenimpedanz haben und die Lastimpedanz nur so variieren können, dass sie die meiste Leistung aus der Quelle saugt.
Das heißt, dieses Problem setzt voraus, dass Sie die Gesamtimpedanz nicht verringern können. Es gibt eine implizite Einschränkung, dass die Gesamtlast + Quellenimpedanz konstant bleiben muss, und innerhalb dieser Einschränkung lösen Sie nach der maximalen Leistungsübertragung. Ähnlich wie bei jedem anderen Maximierungsproblem, z. B.: Bei einer Reihe von so vielen Fuß, was ist die größte Fläche, die Sie umschließen können, die wie ein Rechteck mit einer halbkreisförmigen Kappe aussieht. Das ist der Schlüssel; Ich denke, du kannst es jetzt lösen.
@Kaz natürlich, wenn wir die Summe der äquivalenten Last- und Reihenimpedanzen niedriger machen können, ist die Leistungsübertragung höher. Die Frage betrifft aber die Herleitung für einen konstanten Serienwiderstand, z .

Antworten (1)

Die Referenz ist Desoer & Kuh, Basic Circuit Theory .

Erstens, Notation und ein Ausdruck für die durchschnittliche Leistung Pav. Für eine sinusförmige Spannung v und Strom i bei gleicher Frequenz:

v ( T ) = v M C Ö S ( ω T + ∡ v ) = R e ( v e J ω T )  Wo  v ≜ v M e J ∡ v

ich ( T ) = ICH M C Ö S ( ω T + ∡ ICH ) = R e ( ICH e J ω T )  Wo  ICH ≜ ICH M e J ∡ ICH

P ( T ) = v ( T ) ich ( T ) = 1 2 v M ICH M C Ö S ( ∡ v − ∡ ICH ) + 1 2 v M ICH M C Ö S ( 2 ω T + ∡ v + ∡ ICH )

Über einen Zeitraum gemittelt, ist die durchschnittliche Leistung Pav:

P A v = 1 2 v M ICH M C Ö S ( ∡ v − ∡ ICH ) = Betreff ( 1 2 v ICH ¯ )

Wenn V durch eine komplexe Impedanz Z, V = IZ, mit I verbunden ist, dann:

P A v = 1 2 Betreff ( ICH ICH ¯ Z ) = 1 2 | ICH | 2 Betreff ( Z )

Damit aus dem Weg, auf die Maximierung. Mit Quellenspannung vs , Lastspannung vl und Strom i wie oben, fester Quellenimpedanz Zs=Rs+jXs und zu bestimmender Lastimpedanz Zl=Rl+jXl ist die an die Last gelieferte Durchschnittsleistung Pav :

P A v = 1 2 | ICH | 2 R l

Seit

ICH = v S Z S + Z l

es folgt dem

P A v = 1 2 | v S | 2 R l | Z S + Z l | 2 = 1 2 | v S | 2 R l ( R S + R l ) 2 + ( X S + X l ) 2

Diesen Ausdruck können Sie nun maximieren, indem Sie getrennt nach Imaginär- und Realteil von Zl differenzieren:

  1. Bezüglich Xl, das nur an einer Stelle auftritt, wird das Maximum bei Xl=-Xs erreicht.
  2. Bezüglich Rl, das an zwei Stellen auftritt, wird das Maximum bei Rl = Rs erreicht.

Stellen Sie Zl also für eine maximale Leistungsabgabe auf:

Z l , Ö P T = R S − J X S = Z S ¯
Die maximale durchschnittliche Leistung, die an diese Last geliefert wird, beträgt:

P A v , M A X = | v S | 2 8 R S

Sie sind herzlich willkommen.
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