Unter welchen Umständen können Impedanzen zu einfachen Widerständen vereinfacht werden?

Betrachten Sie die folgende Schaltung:

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Dies ist ein einfacher RC-Tiefpassfilter erster Ordnung. Die Grenzfrequenz ist:

F C = 1 2 π ( 1 k Ω ) ( 1 μ F ) ≈ 159 H z

Die Reaktanz von C1 bei F C Ist:

X C 1 = 1 2 π ( 159 H z ) ( 1 u F ) = 1 k Ω

Was also, wenn wir so tun, als wäre C1 nur ein Widerstand mit einem Widerstand, der eine Funktion der Frequenz ist? Wenn Sie eine 159-Hz-Sinuskurve sind, könnte die Schaltung genauso gut so sein (glaube ich ...):

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Zumindest, wenn wir uns nur um den Frequenzgang und nicht um den Phasengang der Schaltung kümmern. Die Spannung zwischen T1 und T2 ist die Hälfte von V1, und dies stimmt mit der obigen Berechnung der Grenzfrequenz überein.

Ich denke, mit dieser Schaltung können wir jede Frequenz auswählen , die Reaktanz berechnen, C1 durch einen Widerstand mit diesem Wert ersetzen und eine Ersatzschaltung zum Berechnen des Frequenzgangs erhalten.

Aber was ist mit dieser Schaltung?

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Vielleicht nicht so sehr. Unter welchen Umständen können wir Impedanzen auf diese Weise vereinfachen?

Ich würde niemals. Was Sie vermissen, ist Z = jX. Die Reaktanz gibt die Größe der Impedanz an, aber sie steht im "rechten Winkel" zu einer Widerstandsimpedanz. Und wie Ihr letztes Beispiel zeigt, können Sie große Effekte verpassen, wenn Sie dies ignorieren.
@ThePhoton doh ... falsch gezeichnet. Ich werde es reparieren.
@ThePhoton jedenfalls verstehe ich voll und ganz, dass das Ignorieren des komplexen Teils der Impedanzen unter einigen (vielleicht den meisten) Umständen zu Fehlern führt. Der Reiz der Umrechnung von Reaktanzen in Impedanzen besteht darin, dass es intuitiver ist, an frequenzabhängige Widerstände zu denken als an komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen sind mathematisch elegant, aber überhaupt nicht intuitiv. Ich versuche nur, die Grenzen dieser Vereinfachung besser zu verstehen und vielleicht einen Einblick zu bekommen, warum sie manchmal funktioniert.

Antworten (2)

Leider können Sie Reaktanzen nicht einfach durch Widerstände ersetzen, weil Sie dann die Phasenverschiebung ignorieren. In Ihrem ersten Beispiel ist die Grenzfrequenz eines Tiefpassfilters als die Frequenz definiert, bei der die Ausgangsspannung 3 dB (0,707) unter ihrem Maximum liegt, nicht die Hälfte. Das Ersetzen der kapazitiven Reaktanz durch einen Widerstand mit gleichem Wert ergibt also nicht den korrekten Spannungsausgang. Dies liegt daran, dass Spannung und Strom in der realen Schaltung mit dem Kondensator nicht in Phase sind, aber Sie zwingen sie dazu, in Phase zu sein, indem Sie die kapazitive Reaktanz durch einen reinen Widerstand ersetzen. Ich glaube wirklich nicht, dass frequenzabhängige Widerstände (die nicht als passive Komponenten erhältlich sind) intuitiver sind als Kondensatoren und Induktivitäten, die leicht als passive Komponenten konstruiert werden können. In Ihrer zweiten Schaltung Sie verlieren das Konzept der Resonanzfrequenz vollständig, da Widerstände im Gegensatz zu kapazitiver Reaktanz und induktiver Reaktanz immer positiv sind. R3 und R4 können sich also nie gegenseitig aufheben. Ich denke, Sie müssen sich an Reaktanzen halten und lernen, sie auf reale Schaltkreise anzuwenden. Der Aufwand wird sich lohnen.

Nun, Sie müssen mir nicht sagen, dass der 2. Schaltkreis nicht funktioniert. Deshalb habe ich es als Beispiel gegeben. Aber in einem Punkt haben Sie mich korrigiert, und das ist, dass die erste Schaltung auch nicht funktioniert. Ich glaube, ich habe vergessen zu berücksichtigen, dass "-3dB" nicht bedeutet v 1 / v 2 = 0,5 sondern eher v 1 2 / v 2 2 = 0,5 oder P 1 / P 2 = 0,5 . Ich glaube, ich habe den Fehler nie bemerkt, da ich diese Analyse nie auf etwas Anspruchsvolleres als eine Audio-AC-Kopplungsschaltung anwenden musste.

Es fehlt grundlegend der Energiespeicheraspekt der Komponenten, der sich je nach Ordnung des Systems als Phasenverzögerung oder Resonanzen manifestiert.

Aber das weißt du ja schon. Deshalb werde ich die Gedanken auf zwei weitere Bereiche ausdehnen.

Fall 1): Gedankenexperiment: In dem Fall, in dem Sie die zeitlich gemittelte Leistung des Systems bei einer einzelnen Frequenz in einem nachgeschalteten Detektor oder Schaltkreis messen. Sie könnten beispielsweise einen AB-Vergleich für Rauschen durchführen.

aber es gibt ein reales Beispiel, bei dem dies die ganze Zeit gemacht wird -> Widerstände durch Kondensatoren ersetzen.

Fall 2): ​​Schalterkappenschaltungen: Hier erhalten Sie in der Kombination eines Kondensators und eines Abtast-/Kurzschlussschalters den äquivalenten Widerstand in abgetasteten Systemen. Dies geschieht, weil der Flächen- und Leistungsverbrauch weitaus geringer ist, es zu Standard-CMOS-Prozessen kompatibel ist und die Anpassung besser ist.

  R e Q u = 1 / 4 C F C l k sind die Formeln, die für die Übersetzung von C und F nach R verwendet werden.

So sind fast alle DACs von CMOS-ADCs usw. ausgelegt.

Unter welchen Umständen können Impedanzen zu einfachen Widerständen vereinfacht werden?
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