Warum ist eine unendliche Reaktanz ein offener Stromkreis?

Sehen Sie sich die Reaktion eines Kondensators oder einer Spule auf eine Spannungsstufenfunktion an. Ein idealer Kondensator ist "sofort wie ein Kurzschluss, aber im stationären Zustand wie ein offener Stromkreis"; Es leitet Strom ohne Widerstand, aber wenn es Ladung aufnimmt, entwickelt sich eine Spannung darüber, die dem Strom entgegenwirkt, der schließlich auf Null abfällt (oder wenn Sie darüber rechnen wollen, der Strom fällt innerhalb einer endlichen Zeit unter jeden endlichen Wert). . Die Ladungsmenge, die ein Kondensator aufnehmen kann, bevor die Spannung um einen bestimmten Betrag ansteigt, ist proportional zu seinem Wert. In der unendlichen Reaktanzgrenze hat der Kondensator einen Wert von Null, also braucht es null Coulomb, um ihn aufzuladen und ihn in einen offenen Stromkreis zu verwandeln.

Ein idealer Induktor ist das Gegenteil; es ist "sofort wie ein offener Stromkreis, aber im Dauerzustand wie ein Kurzschluss". Der Strom ist anfänglich null und steigt mit der Zeit an, wenn die Spannung über dem Induktor auf null fällt. Je größer der Wert der Induktivität, desto langsamer wächst der Strom für eine gegebene Spannung. In der unendlichen Reaktanzgrenze hat die Induktivität einen unendlichen Wert, sodass der Strom für immer auf einem Wert von Null bleibt – ein offener Stromkreis.

Beide Geräte sehen bei einer Zeitskalengrenze wie ein offener Stromkreis und bei einer anderen Zeitskalengrenze wie ein Kurzschluss aus. Beide haben einen Parameter, der ihre Zeitskala kürzer oder länger macht. Niedrige Reaktanz ist die Richtung, die sie näher an die Grenze bringt, wo sie kurzgeschlossen sind (hohe Kapazität oder niedrige Induktivität); Eine hohe Reaktanz ist die Richtung, die sie näher an die Grenze bringt, an der sie offen sind (niedrige Kapazität oder hohe Induktivität). Unendliche Reaktanz ist der Grenzfall, bei dem über eine endliche Zeit kein Strom fließt, genauso wie kein Strom durch einen offenen Stromkreis fließt.

Stell dir das vor.

Stellen Sie sich nun eine unendliche Induktivität vor. Es steigt nicht an, aber wenn es endlich ist, wird es nur sehr langsam ... Wenn Sie es sehr schnell trennen lassen, bevor die Kontakte ionisieren (~ 1 us), wird die Spannung schließlich Lichtbogen und Urknall, dann oszilliert es mit dem Dielektrikum, bis die Verluste die gesamte Energie absorbieren. E= ½L I^2

Kleines Experiment

Ich arbeite als Ermittler in einer großen Transformatorenfabrik und habe einen 5-MVA-Transformator zu debuggen. Ich möchte die Primärinduktivität bestätigen, die laut meinem RLC-Messgerät 22 Henries beträgt.

Also ziehe ich einen Lithium-Ionen-Akku heraus und lege ihn über den 25-kV-Nenneingang.

dI/dt = V/L = 3,7 V/22 H, also erwarte ich, dass der Strom alle 6 Sekunden um 1 Ampere ansteigt.

Es tut.

Nach 30 Sekunden bei 5 A höre ich auf und wollte nicht auf die Sättigung warten, bis der Magnetkern die Batterie schneller kurzschließt. ;)

Aber um den Kern zu entmagnetisieren, drehe ich die Batterie für die gleiche Zeit um und höre auf.

Experiment bestätigte die Intuition.

Sie können ähnliches an einem Solenoid oder einem großen Relais versuchen. Ich habe einen großen Lichtbogen bekommen, als ich die Batterie abgeklemmt habe. Sie erhalten einen kleineren Zap, der jedoch durch R begrenzt wird.

Im Zusammenhang mit der AC-Steady-State-Analyse ist die Impedanz komplexwertig. Bei bestimmten Operationen mit komplexen Zahlen (wie den rationalen Polynomen, die wir für die Schaltungsanalyse* verwenden) ist jede Unendlichkeit identisch. Das heißt, es spielt keine Rolle, aus welcher Richtung Sie sich der Unendlichkeit nähern, solange die Größe es tut. Dies ist wegen der reziproken Transformation genau symmetrisch zum Fall nahe Null$Y = \frac{1}{Z}$: Es spielt keine Rolle, aus welcher Richtung Sie sich der Nullimpedanz nähern, Nullimpedanz ist Nullimpedanz. Tatsächlich bildet diese Transformation Unendlich auf Null ab und umgekehrt. Und wir verwenden regelmäßig die Division – und nichts Komplizierteres als das – also deckt es das im Wesentlichen ab.

Schließlich definieren wir Nullimpedanz als Kurzschluss und unendliche Impedanz als offen.

*Widerstand ist das konstante Polynom Z = R, Induktivität ist$j \omega L$, Kapazität ist$\frac{1}{j \omega C}$, Impedanzen in Reihe gehen als$Z_1 + Z_2$, Impedanzen parallel gehen als$\frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}$, und ein paar weniger häufige, komplexere Operationen, wie die Stern-Delta-Transformation. Allgemeiner alle Lösungen aus der linearen Algebra (die wiederum auch polynomial sind). Daher liegen alle Schaltungsanalysen mit konzentrierten Elementen im Bereich der komplexen Zahlen in der einfachen alten Algebra.

Wir können die Analyse einer Schaltung mit konzentrierten Elementen auch verallgemeinern, indem wir lineare Algebra (Knoten- oder Maschenanalyse) verwenden: Aufschreiben aller Knoten/Schleifen und der Ströme/Spannungen zwischen ihnen in einer Matrix; deren Elemente Null sind, wenn es keine direkte Verbindung zwischen einem gegebenen Paar von Knoten/Schleifen gibt. Die Lösung ist ein Polynom, das durch die Matrixelemente (aus Elementimpedanzen/Admittanzen) und die Matrixinversionsoperation (die letztendlich ebenfalls polynomisch ist) gegeben ist.

Wenn Sie sich nicht mit komplexer Algebra, Analysis oder mathematischer Analyse im Allgemeinen auskennen, bedeutet Ihnen dies wahrscheinlich nicht allzu viel; Es genügt zu sagen, dass es Operationen gibt, bei denen Sie Ergebnisse erhalten können, die davon abhängen, welche "Art" von Unendlichkeit oder Null Sie betrachten oder welche Operation durchgeführt wird. Einige davon werden gelöst, indem Grenzen gesetzt werden; andere Operationen sind in Bezug auf Unendlich/Null nicht symmetrisch. Aber keine dieser Operationen wird hier verwendet, sodass die Null/Unendlich-Symmetrie für diesen Zweck ungebrochen bleibt.

Bei stationärem Wechselstrom wird die Spannung über einer Komponente beschrieben durch$v(t) = |\hat V|e^{j\angle \hat V}\,e^{j\omega t} = \hat V\, e^{j\omega t}$, und in ähnlicher Weise Strom durch sie durch$i(t) = |\hat I|e^{j\angle \hat I}\,e^{j\omega t} = \hat I\, e^{j\omega t}$.

Wenn eine Impedanz ohmsch ist, existiert eine Konstante$Z\in\mathbb{C}$so dass