Wechselstromkreis Beziehung zwischen Impedanz, Strom und zugeführter Spannung

Edit: Sie haben diese Aussage in Ihrem Edit gemacht:

Ich sollte Z als eine Konstante denken, unabhängig von der Phase

Das stimmt nicht, die Impedanz Z ist eine Funktion der Frequenz$\omega$:

$$Z = j\omega+r$$

Vielleicht verdeutlicht das meine Aussage besser:

$$Z(\omega) = j\omega+r$$

Z ist ein komplexer Wert mit Realteil$r$und Imaginärteil$\omega$. Daraus können Sie ersehen, dass sowohl das Argument als auch die Größe dieser Funktion von der Frequenz abhängen.

Für bestimmte Werte von$\omega$Und$r$, ja, Z ergibt eine bestimmte komplexe Zahl mit einem bestimmten Argument und einer bestimmten Größe, aber die Impedanzfunktion Z selbst ist keine Konstante.

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Wie Sie richtig betont haben, ist die Beziehung zwischen Strom durch und Spannung an einem Widerstand vollständig proportional, und wenn eine Schaltung nur Widerstandselemente enthält, würde diese Beziehung ausreichen, um das Verhalten der Schaltung vollständig zu beschreiben. Zeit und Häufigkeit haben keinen Einfluss auf dieses Verhalten.

Dies ist jedoch bei Kondensatoren und Induktivitäten nicht der Fall, da (wie Sie auch bemerkt haben) die Beziehung nicht proportional ist und die Zeit zu einem Faktor in den Gleichungen wird.

Es kann zunächst entmutigend wirken, wenn Ihnen jemand die Beziehung zwischen Strom durch und Spannung über einem Kondensator erklärt, da es sich um eine Differentialgleichung handelt:

$$I = C\frac{dV}{dt}$$

Ich weiß nicht, wie viel Sie wissen, und vielleicht haben Sie es bereits gewusst und verstanden, aber ich werde seine Bedeutung trotzdem beschreiben. Dies bedeutet: Die zeitliche Änderungsrate der Spannung an einem Kondensator ist direkt proportional zum Strom durch ihn, und die Proportionalitätskonstante ist die Kapazität C.

Eine Lösung für diese Gleichung ist, wenn I konstant ist, und diese Lösung läuft auf diese Beobachtung hinaus: Die Spannung an einem Kondensator steigt (oder fällt) mit einer konstanten Rate, wenn ein konstanter Strom durch ihn fließt.

Eine andere Lösung, wenn der Strom I eine Sinuskurve ist, wie I=sin(t), ist, dass V ebenfalls eine Sinuskurve ist, aber um 90° phasenverschoben zum Strom. Tatsächlich ein invertierter Kosinus.

Im Fall eines einzelnen Kondensators und einer einfachen Konstant- oder Sinusstromquelle ist diese Gleichung leicht zu lösen, aber selten so einfach. In Wirklichkeit sind in einem Schaltkreis viele Widerstände, viele Kapazitäten und viele Induktivitäten vorhanden, und alle kombinierten simultanen Differentialgleichungen, die das Verhalten dieses Schaltkreises beschreiben, sind immer unhandlich.

Also wenden wir uns Laplace-Transformationen zu, die das Lösen der Gleichungen stark vereinfachen. Laplace-Transformationen sind Möglichkeiten, Differentialgleichungen in einer Form darzustellen, die nicht die zeitliche Entwicklung von Spannungen und Strömen darstellt, sondern die Beziehung zwischen der Frequenz und der Phasendifferenz einer Spannung oder eines Stroms. Die Mathematik dahinter ist exquisit, und ich empfehle Ihnen dringend, sich die Videos von Khan Academy und 3Blue1Brown zu diesem und verwandten Themen anzusehen.

Für den Moment reicht es jedoch wahrscheinlich aus zu sagen, dass in Laplace statt der Variablen transformiert wird$t$(Zeit) die Variable ist$s$was als Frequenzbereichsäquivalent von angesehen werden kann$t$in den regulären Zeitbereichs-Differentialgleichungen. Dieser Wert ist keine einfache reelle Zahl; es ist komplex.

In einer Verallgemeinerung,$s$kann geschrieben werden als$j\omega$.$j$ist die Konstante$\sqrt{-1}$(normalerweise geschrieben$i$, aber Ingenieure verwenden$j$um Unklarheiten zu vermeiden, wann$i$wird verwendet, um Strom darzustellen).$\omega$ist die Kreisfrequenz in Radianten pro Sekunde. Vielleicht kennen Sie den Zusammenhang zwischen Frequenzen$f$(in Zyklen pro Sekunde, bzw$Hz$) und Kreisfrequenz$\omega$:

$$\omega = 2\pi f$$

Dies bringt uns zum Begriff "Impedanz", der wie der Widerstand eine Darstellung der Beziehung zwischen Strom durch und Spannung über etwas ist, wobei dieses Etwas jedoch kapazitiv oder induktiv ist oder ein gewisses Maß an kapazitivem oder induktivem Verhalten aufweist. Mit anderen Worten, Elemente einer Schaltung, die ein zeitabhängiges Verhalten zeigen, was zu einer Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung führt.

Wo wir die Beziehung zwischen Strom und Spannung in einem Widerstand "Widerstand" nennen (wo es keinen zeitabhängigen Aspekt und keine Phasenverschiebung gibt), wird diese Beziehung in einem Kondensator oder Induktor als "Reaktanz" bezeichnet. Alle Elemente einer Schaltung haben eine Kombination aus Widerstand und Reaktanz, und diese Kombination wird "Impedanz" genannt.

Die Impedanz ist ein komplexer Wert mit Real- und Imaginärteilen. Der Realteil der Impedanz stellt das Widerstandsverhalten eines Elements dar, und der Imaginärteil entspricht der Reaktanz des Elements.

Da die Impedanz komplex ist, „kodiert“ sie zwei Informationen. Wenn Sie komplexe Zahlen in einem Diagramm der komplexen Ebene darstellen, wird es zu einer Art Vektor mit einer Länge (Betrag) und Richtung (Winkel oder "Argument"). Der Winkel stellt die Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung bei einer bestimmten Frequenz dar, und die Größe ist das Verhältnis zwischen den Amplituden von Strom und Spannung.

Normalerweise wird der reine Widerstand nur als reelle Zahl angegeben, eine einzelne skalare Größe von "Ohm", aber Sie können ihn auch als komplex betrachten, nur mit null Imaginärteil, ohne zeitabhängiges, reaktives Verhalten. Die Reaktanz hingegen wird in Bezug auf definiert$j\omega$, das ist der Imaginärteil der Impedanz.

Um es noch einmal zusammenzufassen: Die Impedanz eines Elements ist ein komplexer Wert, der aus einem Realteil besteht, der den Widerstandsaspekt des Elements darstellt, und einem Imaginärteil, der den reaktiven Aspekt darstellt. Da dieser Wert komplex ist, hat er eine Größe, die Ihnen das Verhältnis zwischen den Strom- und Spannungsamplituden bei einer bestimmten Frequenz angibt, und einen Winkel, der Ihnen die Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung angibt.

Wie ich bereits erwähnt habe, ist ein idealer Widerstand R rein reell, ohne Imaginärteil, also die Impedanz$Z_R$eines Widerstands vom Wert R ist:

$$\begin{aligned} Z_R &= 0j + R \\ \\ &= R \\ \\ \end{aligned}$$

Die Impedanzen$Z_C$eines idealen Kondensators C, und$Z_L$einer idealen Induktivität L, sind rein imaginär:

$$\begin{aligned} Z_C &= \frac{1}{j\omega C} \\ \\ Z_L &= j\omega L \\ \\ \end{aligned}$$

Hier wird Ihre Frage tatsächlich beantwortet. Da diese Werte alle komplex sind (wenn auch ohne Imaginär- oder Realteile), haben sie Größe und Richtung und tragen dadurch mehr Informationen als nur einen skalaren "Widerstand".

Es gibt also einen subtilen, aber entscheidenden Unterschied zwischen diesen beiden Versionen des Ohmschen Gesetzes:

$$\begin{aligned} R &= \frac{V}{I} \\ \\ Z &= \frac{v}{i} \\ \\ \end{aligned}$$

R stellt ein rein resistives Element dar und ist ein skalarer reeller Wert, aber Z bedeutet Impedanz, die komplex ist und mehr Informationen als nur die Größe enthält. Die Impedanz Z enthält genügend Informationen, damit Sie nicht nur den Vergleich der Amplituden von Strom und Spannung ermitteln können, sondern auch die Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung.

Auch da die Impedanz Z in Bezug auf die Frequenz ist$\omega$, es ist wichtig, das zu verstehen$i$Und$v$beziehen sich auf Amplituden von sinusförmigen Komponenten von Strom und Spannung bei dieser bestimmten Frequenz. Das ursprüngliche, berühmte Ohmsche Gesetz in Bezug auf den Widerstand R kann auch verwendet werden, um statische Gleichspannungen und -ströme zu beschreiben, die Impedanz jedoch nicht. Impedanz bezieht sich auf Wechselstrom und insbesondere nur auf Amplituden, wobei DC-Offsets ignoriert werden.

Die Art der Laplace-Transformation ist so, dass Sie Impedanzen genau so kombinieren können, wie Sie einfache Widerstände in einer Schaltung kombinieren würden, indem Sie dieselben Formeln verwenden. Sie können Impedanzen in Reihe addieren, um ihre kombinierte Impedanz zu ermitteln. Sie können parallel geschaltete Impedanzen kombinieren, wie Sie parallele Widerstände kombinieren würden. Das Ergebnis ist immer ein komplexer Ausdruck, der die Größen- und Phasenbeziehungen zwischen Strom durch und Spannung über dem Verbundelement korrekt beschreibt:

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

In der Schaltung P haben wir eine Reaktanz in Reihe mit einem Widerstand. Die Gesamtimpedanz zwischen A und B ist einfach die Summe der Einzelimpedanzen:

$$\begin{aligned} Z_{AB} &= Z_L + Z_R \\ \\ &= j\omega L + R \\ \\ &= 100 + j(\omega \cdot 10^{-6}) \\ \\ \end{aligned}$$

Für die Parallelschaltung in Schaltung Q finden wir einfach den Kehrwert der Summe der Kehrwerte, wie Sie es für ein Paar Widerstände tun würden. Es muss etwas manipuliert werden (unter Verwendung eines komplexen Konjugats), um ein reguläres komplexes Ergebnis zu erhalten:

$$\begin{aligned} Z_{CD} &= \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{j\omega C}}+\frac{1}{R}} \\ \\ &= \frac{1}{j\omega C+\frac{1}{R}} \\ \\ &= \frac{R}{j\omega CR+1} \cdot \frac{j\omega CR-1}{j\omega CR-1} \\ \\ &= \frac{j\omega CR^2 - R}{-\omega ^2C^2R^2 - 1} \\ \\ &= \frac{R}{\omega ^2C^2R^2+1} + j(\frac{-\omega CR^2}{\omega ^2C^2R^2+1}) \end{aligned}$$

Aussehen ist schrecklich, und es ist.

Schaltung R ist die gleiche wie Q, mit Ausnahme einer Induktivität in Reihe. Wir können die Impedanz dieser Induktivität zur Gesamtimpedanz der Schaltung Q hinzufügen:

$$\begin{aligned} Z_{EF} &= Z_{CD} + Z_L \\ \\ &= \frac{R}{\omega ^2C^2R^2+1} + j(\frac{-\omega CR^2}{\omega ^2C^2R^2+1}) + j\omega L \\ \\ &= \frac{R}{\omega ^2C^2R^2+1} + j(\omega L - \frac{\omega CR^2}{\omega ^2C^2R^2+1}) \end{aligned}$$

Der Punkt, den ich mit all dem zu machen versuche, ist, dass jede der obigen Berechnungen eine komplexe Zahl ergibt, und das Argument (Winkel) dieser Zahl gibt Ihnen Phaseninformationen und die Größe dieser Zahl sagt Ihnen etwas über relative Amplituden.

Um dies zu veranschaulichen, nehmen wir zum Schluss die Schaltung P und simulieren sie. Ich schließe eine sinusförmige Spannungsquelle mit einer Amplitude von 10 V und einer Frequenz von 16 MHz an und vergleiche die resultierenden Strom- und Spannungswellenformen.

Die Winkelfrequenz, die 16 MHz entspricht, ist:

$$\begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ \\ &= 2\pi \times 16MHz \\ \\ &= 100\times10^6 rad/s \\ \\ \end{aligned}$$

Die Impedanz der Schaltung P zwischen A und B beträgt:

$$Z_{AB} = R + j(\omega L)$$

Die Real- und Imaginärteile dieser Impedanz sind:

$$\begin{aligned} Re(Z_{AB}) &= R \\ \\ &= 100 \\ \\ Im(Z_{AB}) &= \omega L \\ \\ &= 100\times10^6 \cdot 1\times 10^{-6} \\ \\ &= 100 \\ \\ \end{aligned}$$

Das Argument von$Z_{AB}$Ist:

$$\begin{aligned} \phi &= \angle Z_{AB} \\ \\ &= tan^{-1}(\frac{Im(Z_{AB})}{Re(Z_{AB})}) \\ \\ &= tan^{-1}(\frac{100}{100}) \\ \\ &= 45° \end{aligned}$$

Die Größenordnung von$Z_{AB}$Ist:

$$\begin{aligned} F &= \lvert Z_{AB} \rvert \\ \\ &= \sqrt{Im(Z_{AB})^2 + Re(Z_{AB})^2} \\ \\ &= \sqrt{100^2 + 100^2} \\ \\ &= 100\sqrt{2} \\ \\ &= 141 \\ \\ \end{aligned}$$

Da die Definition der Impedanz das Verhältnis der Amplituden von Spannung und Strom ist

$$\frac{v}{i} = Z_{AB}$$

Wir können erwarten, dass die Amplitude des Stroms durch R und L um den Faktor 141 kleiner ist als die Spannung an ihnen, mit einer Phasendifferenz von 45°:

Hier ist die CircuitLab-Simulation, die ich verwendet habe:

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Während Sie versuchen, dies zu verstehen, müssen Sie möglicherweise mehrere verschiedene Ansätze verfolgen und sehen, was für Sie funktioniert. Probier diese.

In einer Widerstandsschaltung ist V immer proportional zu I, wobei das Verhältnis der Widerstand, V = IR, mit beliebigen Signalen ist. R ist eine reine Zahl, obwohl wir an dieser Stelle wahrscheinlich nicht einmal daran denken, diese Beobachtung zu machen. R ist ein Verhältnis, es ist das Verhältnis von V zu I, V/I.

Im speziellen Fall eines sinusförmigen Signals, Vt = Acos(2pift+phase), können wir über seine Phase sprechen, zumindest in Bezug auf eine andere Wellenform derselben Frequenz. Im Widerstandsfall ist dies natürlich nicht erforderlich, da V = IR immer wahr ist.

Wenn die Schaltung eine Induktivität oder einen Kondensator enthält, stellen wir fest, dass der Strom durch diese Komponente eine andere Phase hat als die Spannung an ihr. Es ist sowieso eine konstante Phasendifferenz bei jeder gegebenen Frequenz.

Wenn es konsistent ist, können wir mathematisch etwas darüber sagen? Nun, lassen Sie uns einfach eine Zahl mit Phase erfinden und sehen, wohin uns das führt, also schreiben wir V = IZ, wobei Z unsere Zahl mit Phase ist, und wir haben das Konzept des Widerstands dahingehend erweitert, dass wir eine Phase haben.

Als die komplexen Zahlen zum ersten Mal erfunden wurden, gab es unter den Mathematikern Angstgeheul und Spott. Das ist einer der Gründe, warum die Teile einer komplexen Zahl als real und imaginär bezeichnet werden. Sie wiesen darauf hin, dass dies keine "echten" Zahlen seien und nur eingebildet worden seien. Sie sind also keineswegs die erste Person, die dies als beunruhigendes Konstrukt empfindet.

Aber wenn Sie sich einfach anschnallen und sie so verwenden, wie sie definiert sind, vereinfachen sie ganze Bereiche der Mathematik und insbesondere der Elektrotheorie mit ihren Induktivitäten und Kondensatoren.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, warum die elektrische Theorie so gut auf eine 2D-Ebene abgebildet wird, aber sie tut es. Vielleicht ist es so, wenn Sie einen Induktor und einen Kondensator koppeln und sie schwingen lassen, dann ist, wenn die Spannung Sinus ist, der Strom Kosinus, und das Auftragen einer gegen die andere erfordert zwei Dimensionen, und Sie erhalten einen Kreis, wenn Sie dies tun.

Es ist so einfach und intuitiv informativ, Serienimpedanzen grafisch hinzuzufügen, indem man Impedanzvektoren von Nase zu Spitze in einem Argand-Diagramm platziert.

Sie können klicken, wenn Sie einfach Gleichungen durcharbeiten, und Sie werden feststellen, dass sie immer funktionieren. Sie können klicken, wenn Sie bemerken, dass Sinus und Cosinus Sie in einem Argand-Diagramm auf der komplexen Ebene um einen Kreis führen. Aber hoffentlich werden sie irgendwann klicken, denn es erspart Ihnen Komplexität, wenn Sie Beziehungen zwischen Spannung und Strom als eine einzige komplexe Zahl aufschreiben können, anstatt sie auf orthogonale Achsen aufzulösen und Sinus und Cosinus separat zu verwenden oder sich mit dem Addieren auseinanderzusetzen R-Theta-Vektordarstellungen zusammen.

Z als komplexe Impedanz enthält einen „realen“ und einen „imaginären“ Anteil. Die Spitznamen „real“ und „imaginär“ (Zahlen sind schließlich Begriffe und damit sowieso ein Produkt der Vorstellungskraft) weisen bereits darauf hin, dass der Imaginärteil eine spezifisch erfundene Rolle erfüllt, die sich von der Standardrolle unterscheidet.

Wenn komplexe Zahlen in der Physik verwendet werden, entspricht die imaginäre Komponente meistens nicht einer tatsächlich gemessenen Größe, sondern wird angeheftet, um etwas anders zu verfolgen, weil die üblichen algebraischen Manipulationen genau das Richtige tun, wenn Regeln zur Manipulation komplexer Zahlen verwendet werden die kombinierten Real- und Imaginärteile und nicht nur den Realteil.

Unter der Annahme von 50 Hz Wechselstrom stellt sich heraus, dass, wenn wir das Ohmsche Gesetz drehen$U = IR$hinein$U = IZ$, dann können wir einen Kondensator drehen

$$U = \int I \times C\ \mathrm{dt}$$ hinein$U = IZ_c$mit $$Z_c=\frac{1}{2\pi \times j \times 50\text{ Hz} \times C}$$ (Ich benutze$j = \sqrt{-1}$hier die EE-Konvention) und wiederum eine Induktivität $$U = \mathrm{\frac{d}{dt}} I \times L$$ hinein$U = I Z_l$mit$Z_l=2 \pi \times j \times 50\text{ Hz} \times L$. Und auf magische Weise sagen unsere algebraischen Gleichungen, die Widerstandsnetzwerke abdecken, das Verhalten eines Netzwerks, das auch Induktivitäten und Kondensatoren enthält, perfekt voraus, wenn es mit Spannungen / Strömen von 50 Hz gespeist wird (nicht für eine andere Frequenz, aber Sie können 50 Hz durch eine generische ersetzen$f$und zumindest eine Antwort in Bezug auf erhalten$f$).

Es ist wichtig zu erkennen, dass dies nichts anderes als ein Taschenspielertrick ist: Jede harmonische Schwingung enthält zwei Energieformen, die periodisch ineinander umgewandelt werden, und wenn wir diese beiden Komponenten im Auge behalten, indem wir sie in eine komplexe Zahl zusammenfassen, können wir so tun, als ob sie gerecht wären verfolgen Sie eine Komponente und speichern Sie das, was im Bild fehlt (aber periodisch zurückkehrt), in der imaginären Komponente.

Dieser Trick funktioniert zwar nur auf einer Frequenz gleichzeitig, aber er funktioniert zuverlässig genug, dass die Leute ihm vertrauen.

Auch wenn es kaputt geht.

Hier ist ein Beispiel: Verstärker werden mit der Ausgangsimpedanz bewertet, für die sie ausgelegt sind. Analoge Technik vorausgesetzt, können Sie damit den maximalen Strom berechnen, den die Leistungstransistoren liefern müssen. Das Problem ist, dass die Leistungstransistoren diesen Strom von Stromschienen liefern und die Spannung an ihnen ein entgegengesetztes Vorzeichen zur Spannung am Lautsprecher hat. Bei einer ohmschen Last haben sie also die größten Ströme, während die niedrigste Spannung an ihnen anliegt, und sie werden ausgeschaltet (anstelle ihres Gegenstücks auf der anderen Stromschiene, die die Arbeit verrichtet), wenn die Spannung am Ausgang die entgegengesetzte Polarität hat .

Während die Ausgangsimpedanz bei einer bestimmten Frequenz die maximalen Ströme in den Lautsprecher korrekt vorhersagt, kann die maximale Leistung, die den Leistungstransistoren entnommen wird, nur unter der Annahme bestimmt werden, dass die Last hauptsächlich ohmsch ist.

Diese Annahme fällt bei stark induktiven oder kapazitiven Lasten hin, wie z. B. einer Basslautsprecher-Weiche, bei der der eigentliche Lautsprecher fehlt, sodass nur eine Blindlast übrig bleibt. In der Nähe der Übergangsfrequenz ist die Impedanz dann nahe Null, während Spannungen und Ströme phasenverschoben sind: Dies kann tatsächlich einen Verstärker sprengen, der für einen kurzgeschlossenen Ausgang ausgelegt ist.

In Wechselstromkreisen mit konstanter Frequenz und ohne von 0 V verschiedene Gleichspannung erzählen die komplexen Impedanzen so gut, dass man ihnen ähnlich viel Vertrauen entgegenbringt wie den realen Widerständen.

Impedanz ist die Verallgemeinerung des Widerstands mit reaktiven Elementen: Induktivität und Kapazität.

Wie „reagieren“ diese reaktiven Elemente?

• Kondensatoren reagieren auf Spannungsänderungen mit einem Gegenstrom :
  • schnellere Spannungsänderungen => höherer Strom ($I = C {dV \over dt}$)
  • höhere Frequenz => niedrigere Impedanz ($X_C = {1\over 2 \pi fC})$
• Induktivitäten reagieren auf Stromänderungen mit einer entgegengesetzten Spannung :
  • schnellere Stromänderungen => größere Spannung ($V = L{dI \over dt}$;$I = {1 \over L} \int_0^T Vdt + I_0$)
  • höhere Frequenz => höhere Impedanz ($X_L = 2\pi fL)$

(Ein bisschen mathematischer Hintergrund ... hier .)

Die Auswirkungen dieser Elemente ändern tatsächlich das Verhältnis von Wechselspannung zu Strom. Sie reagieren also jeweils auf einen einfachen AC-Sinus wie folgt:

• Kondensator: Wechselstrom führt Spannung
• Induktivität: Wechselstrom wird der Spannung nacheilen
• und ... Widerstand: Wechselstrom wird in Phase mit Spannung sein

Sie können die detaillierten Gleichungen dafür mithilfe komplexer Mathematik ( Komplex im realen + imaginären Sinne ) finden, die Ihnen zunächst das Wasser ins Auge treiben, wenn Sie damit nicht vertraut sind. Solche mathezentrierten Tutorials haben ihren Platz, und wenn Ihr Wissen und Ihre mathematischen Fähigkeiten wachsen, werden sie sinnvoller.

Aber anstatt in dieser Mathematik zu ertrinken, ist hier ein Online-Simulator, mit dem Sie sehen können , wie reaktive Schaltkreise funktionieren.

Falstad RLC-Simulation: http://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html

Die erste Simulation zeigt, wie sich jede Art von Impedanz verhält. Fühlen Sie sich frei, die Sim nach Herzenslust zu bearbeiten, und sehen Sie sich die anderen Beispiele an.

Aber der Strom kann immer noch mit I = V/Z berechnet werden, wobei Z die Impedanz der Schaltung ist. Ich verstehe das nicht. Wie könnte der Strom mit I = V/Z berechnet werden, obwohl I und Quelle V nicht in Phase sind?

Denken Sie an eine mechanische Analogie eines Widerstands und eines Kondensators in Reihe. Für diese Analogie werde ich Flüssigkeiten verwenden und insbesondere bitte ich Sie, einen Fluss oder Kanal mit einem undichten Schleusentor (viele, viele kleine Löcher) zu betrachten. Wenn der Wasserstand auf beiden Seiten gleich ist, fließt kein Wasser durch das Schleusentor und dies ist gleichbedeutend mit einer Spannungsquelle, die einen Kondensator über einen Widerstand speist. Die Kondensatorspannung ist der Flüssigkeitsstand auf der anderen Seite des undichten Schleusentors und der Wasserfluss ist im Grunde Strom.

Wenn plötzlich eine ganze Ladung Wasser in die Zulaufseite des Schleusentors geleert würde, würde das Zulaufniveau sofort ansteigen, aber das Niveau auf der "Kondensator" -Seite würde langsam ansteigen und nach einiger Zeit erreicht werden auf dem gleichen Niveau wie die Zufuhrseite. Dies ist dasselbe wie das Laden eines Kondensators über einen Widerstand. Ich denke, Sie verstehen diese mathematische Exponentialanalogie vielleicht bereits.

Aber nun bedenken Sie, dass der Flüssigkeitsstand auf der Einlaufseite sinusförmig variiert. Sie müssen nicht herausfinden, wie dies erreicht werden kann, also nehmen Sie einfach an, dass dies durch spezielle Pumpen erfolgt, die vorwärts und rückwärts laufen.

Wenn die Frequenz dieses sich ändernden Flüssigkeitsstands hoch ist, werden die Flüssigkeitsstandsänderungen auf der Kondensatorseite sinusförmig sein, aber diese Änderungen werden in der Amplitude deutlich niedriger sein als auf der Einspeiseseite, und es wird eine deutliche Zeitverzögerung zwischen den Änderungen geben Einspeisungsseite auf Maximum trifft und die Kondensatorseite auf Maximum trifft. Dies gilt für die zuvor erwähnte Widerstands-Kondensator-Schaltung.

Aber das bedeutet nicht, dass wir dem Fluss durch das undichte Schleusentor, das durch die Änderungen des Zufuhrniveaus verursacht wird, keinen Impedanzwert zuschreiben können. Der Durchfluss durch das Schleusentor ist eindeutig nicht „in Phase“ mit dem Zulaufwasserspiegel, und zwar deshalb, weil der Durchfluss auch vom Auslaufpegel bestimmt wird. Dies gilt auch für den Widerstand und den Kondensator.

Wir können die Impedanz des oben beschriebenen Flüssigkeitssystems als die Spitze-zu-Spitze-Flüssigkeitspegeländerung am Zulauf dividiert durch den Spitze-zu-Spitze-Wasserfluss in den Auslauf definieren, und wir müssen uns nicht darum kümmern über die Phasenbeziehung zwischen den beiden.

Für diese Antwort meine ich immer, wenn ich Strom sage , speziell konventionellen Strom ; und wann immer ich Widerstand , Kondensator oder Induktivität sage , meine ich speziell Widerstand mit konstantem Widerstand , Kondensator mit konstanter Kapazität bzw. Induktivität mit konstanter Induktivität . Da Sie Wechselstromkreise studieren, gehe ich davon aus, dass Sie Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten bereits einzeln studiert haben. Ich gehe auch davon aus, dass Sie mit Ableitungen und bestimmten trigonometrischen Identitäten vertraut sind.

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Erinnern wir uns zunächst an einige Gleichungen.

Bei einem Widerstand ist der Momentanstrom durch den Widerstand direkt proportional zur Momentanspannung am Widerstand:

$v(t) = R \, i(t) \tag 1$

In einem Kondensator ist der Momentanstrom durch den Kondensator direkt proportional zur zeitlichen Änderungsrate der Momentanspannung am Kondensator:

$i(t) = C \, \dfrac{\mathrm dv(t)}{\mathrm dt} \tag 2$

In einem Induktor ist die Momentanspannung über dem Induktor direkt proportional zur zeitlichen Änderungsrate des Momentanstroms durch den Induktor:

$v(t) = L \, \dfrac{\mathrm di(t)}{\mathrm dt} \tag 3$

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Betrachten wir einen Widerstand. Nehmen wir an, der momentane Strom durch ihn ist eine Sinuskurve der Form$i(t) = I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$. Dann ist aus Gleichung (1) die momentane Spannung darüber:

$\begin{align} v(t) &= R \, [I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}] \\ &= R \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)} \tag 4 \end{align}$

das heißt, es ist auch eine Sinuskurve mit der gleichen Frequenz wie der Momentanstrom. Der Strom ist phasengleich mit der Spannung.

Als nächstes nehmen wir in einem Kondensator an, dass die momentane Spannung darüber eine Sinuskurve der Form ist$v(t) = V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v)}$. Dann ist aus Gleichung (2) der momentane Strom durch sie:

$\begin{align} i(t) &= C \, \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} [V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v)}] \\ &= C \, [- \omega \, V_\text{m} \sin{(\omega t + \phi_v)}] \\ &= - C \, \omega \, V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v - 90^\circ)} \\ &= C \, \omega \, V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v - 90^\circ + 180^\circ)} \\ &= C \, \omega \, V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v + 90^\circ)} \tag 5 \end{align}$

das heißt, es ist auch eine Sinuskurve mit der gleichen Frequenz wie die Momentanspannung. Der Strom eilt der Spannung zeitlich um 90° voraus.

Als nächstes nehmen wir in einem Induktor an, dass der momentane Strom durch ihn eine Sinuskurve der Form ist$i(t) = I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$. Dann ist aus Gleichung (3) die momentane Spannung darüber:

$\begin{align} v(t) &= L \, \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} [I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}] \\ &= L \, [- \omega \, I_\text{m} \sin{(\omega t + \phi_i)}] \\ &= - L \, \omega \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i - 90^\circ)} \\ &= L \, \omega \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i - 90^\circ + 180^\circ)} \\ &= L \, \omega \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i + 90^\circ)} \tag 6 \end{align}$

das heißt, es ist auch eine Sinuskurve mit der gleichen Frequenz wie der Momentanstrom. Die Spannung eilt dem Strom um 90° zeitlich voraus, oder äquivalent dazu eilt der Strom der Spannung um 90° zeitlich nach.

Aus den Gleichungen (4) bis (6) können wir ersehen, dass immer dann, wenn wir einen sinusförmigen Strom oder eine sinusförmige Spannung an einen Widerstand, Kondensator oder eine Induktivität anlegen, die resultierende Spannung oder der resultierende Strom ebenfalls sinusförmig mit derselben Frequenz ist . Behalten Sie diese Tatsache im Hinterkopf. Nennen wir diese Beobachtung Nr. 1 . (Tatsächlich trifft dies zu, nachdem einige Zeit vergangen ist und die sogenannten Transienten auf Null abgeklungen sind und der stationäre Zustand erreicht wurde, aber lassen Sie uns dies ignorieren.)

Wie Sie vielleicht wissen, können wir Sinuskurven mit unterschiedlicher Amplitude und unterschiedlichem Phasenwinkel, aber gleicher Frequenz zu einer Sinuskurve mit unterschiedlicher Amplitude, unterschiedlichem Phasenwinkel, aber auch gleicher Frequenz kombinieren. Lesen Sie diese Seite , wenn Sie es nicht wissen. Nennen wir diese Beobachtung Nr. 2 .

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Das Spannungsgesetz von Kirchhoff besagt, dass eine Summe von Momentanspannungen Null ist, und das aktuelle Gesetz von Kirchhoff besagt, dass eine Summe von Momentanströmen Null ist:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} v_n(t) = 0 \tag 7$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} i_n(t) = 0 \tag 8$

In einer Schaltung, die nur aus Widerständen, Induktivitäten, Kondensatoren und unabhängigen sinusförmigen Spannungs- und Stromquellen gleicher Frequenz besteht, zeigen die Kirchhoffschen Gesetze zusammen mit Beobachtung Nr. 1, dass wir in Wechselstromkreisen Momentanspannungen und -ströme gleicher Frequenz summieren . Nennen wir diese Beobachtung Nr. 3 . Diese Summen sinusförmiger Signale führen zu Signalen, die ebenfalls sinusförmig sind und dieselbe Frequenz haben, wie wir in Beobachtung Nr. 2 gesehen haben.

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Lassen Sie uns kurz über Phasoren sprechen.

Wie Sie vielleicht wissen, ein sinusförmiges Signal der Form$x(t) = X_\text{m} \cos{(\omega t + \phi)}$, die wirklich eine reelle Funktion einer reellen Variablen ist, kann teilweise als komplexe Konstante der Form dargestellt werden${\tilde X} = X_\text{m} e^{j \phi} = X_\text{m} \, \angle \phi = X_\text{m} \cos{(\phi)} + j \sin{(\phi)}$, genannt ein Phasor . Die Beziehung zwischen einem Phasor und seinem entsprechenden Signal ist$x(t) = \Re{[{\tilde X} \, e^{j \omega t}]}$.

Beachten Sie, dass der Zeiger nicht die zyklische Frequenz oder Winkelfrequenz des Signals enthält und somit das Signal nicht vollständig darstellt. Dies spielt jedoch keine Rolle, da, wie wir gesehen haben, alle Signale in einem Wechselstromkreis, der aus unabhängigen Quellen gleicher Frequenz, Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten besteht, dieselbe Frequenz haben.

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(Komplexe) Impedanz ist definiert als das Verhältnis von Zeigerspannung zu Zeigerstrom:

${\hat Z} = \dfrac{\tilde V}{\tilde I} \tag 9$

Finden wir die (komplexe) Impedanz der drei passiven Elemente.

Für einen Widerstand ist in Gleichung (4) der Momentanstrom$i(t) = I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$, was geschrieben werden kann als$i(t) = \Re{[{\tilde I} \, e^{j \omega t}]}$, wobei der Zeigerstrom ist:

${\tilde I} = I_\text{m} \, e^{j \phi_i}; \tag*{}$

und die Momentanspannung ist$v(t) = R \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$, was geschrieben werden kann als$v(t) = \Re{[{\tilde V} \, e^{j \omega t}]}$, wobei die Phasenspannung ist:

${\tilde V} = R \, I_\text{m} \, e^{j \phi_i}. \tag*{}$

Somit ist die (komplexe) Impedanz eines Widerstands:

$\begin{align} {\hat Z} &= \dfrac{R \, I_\text{m} \, e^{j \phi_i}}{I_\text{m} \, e^{j \phi_i}} \\ &= R = R \, \angle 0^\circ \tag {10} \end{align}$

Als nächstes ist für einen Kondensator in Gleichung (5) die Momentanspannung$v(t) = V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v)}$, was geschrieben werden kann als$v(t) = \Re{[{\tilde V} \, e^{j \omega t}]}$, wobei die Phasenspannung ist:

${\tilde V} = V_\text{m} \, e^{j \phi_v}; \tag*{}$

und der Momentanstrom ist$i(t) = C \, \omega \, V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v + 90^\circ)}$, was geschrieben werden kann als$i(t) = \Re{[{\tilde I} e^{j \omega t}]}$, wobei der Zeigerstrom ist:

${\tilde I} = C \, \omega \, V_\text{m} e^{j (\phi_v + 90^\circ)}. \tag*{}$

Somit ist die (komplexe) Impedanz eines Kondensators:

$\begin{align} {\hat Z} &= \dfrac{V_\text{m} \, e^{j \phi_v}}{C \, \omega \, V_\text{m} \, e^{j (\phi_v + 90^\circ)}} \\ &= \dfrac{1}{C \, \omega \, e^{j 90^\circ}} \\ &= \dfrac{1}{j \, \omega \, C} = -\dfrac{j}{\omega \, C} = \dfrac{1}{\omega \, C} \, \angle -90^\circ \tag {11} \end{align}$

Als nächstes ist für einen Induktor in Gleichung (6) der Momentanstrom$i(t) = I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$, was geschrieben werden kann als$i(t) = \Re{[{\tilde I} \, e^{j \omega t}]}$, wobei der Zeigerstrom ist:

${\tilde I} = I_\text{m} \, e^{j \phi_i}; \tag*{}$

und die Momentanspannung ist$v(t) = L \, \omega \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i + 90^\circ)}$, was geschrieben werden kann als$v(t) = \Re{[{\tilde V} e^{j \omega t}]}$, wobei die Phasenspannung ist:

${\tilde V} = L \, \omega \, I_\text{m} \, e^{j (\phi_i + 90^\circ)}. \tag*{}$

Somit ist die (komplexe) Impedanz einer Induktivität:

$\begin{align} {\hat Z} &= \dfrac{L \, \omega \, I_\text{m} \, e^{j (\phi_i + 90^\circ)}}{I_\text{m} \, e^{j \phi_i}} \\ &= L \, \omega \, e^{j 90^\circ} \\ &= j \, \omega \, L = \omega \, L \, \angle 90^\circ \tag {12} \end{align}$

Wenn Sie sich die Gleichungen (10) bis (12) ansehen, sehen Sie in Gleichung (9), dass der Phasenwinkel zwischen dem Momentanstrom und der Momentanspannung eines Widerstands, Kondensators und einer Induktivität im Phasenwinkel der ( komplexe) Impedanz . Ich denke das beantwortet deine Frage:

Wie könnte der Strom mit I = V/Z berechnet werden, obwohl I und Quelle V nicht in Phase sind?

Falls Sie sich auf die Amplituden/Spitzenwerte/Maximalwerte beziehen, dann nehmen Sie die Größe der (komplexen) Impedanz von Gleichung (9):

$\begin{align}|{\hat Z}| &= \left| \dfrac{\tilde V}{\tilde I} \right| \\ &= \dfrac{|\tilde V|}{|\tilde I|} \\ &= \dfrac{|V_\text{m} \, e^{j \phi_v}|}{|I_\text{m} \, e^{j \phi_i}|} \\ &= \dfrac{V_\text{m}}{I_\text{m}} \tag {13} \end{align},$

und da haben Sie es, die vorherige Gleichung zeigt, dass wir die Größe der (komplexen) Impedanz einfach als das Verhältnis der Spitzenspannung zum Spitzenstrom berechnen können .

Falls Sie sich auf Effektivwerte beziehen, dann erinnern Sie sich an den Effektivwert eines Sinussignals$X_\text{RMS} = X_\text{m}/\sqrt{2}$, woraus wir den Spitzenwert als erhalten$X_\text{m} = \sqrt{2} \, X_\text{RMS}$. Einsetzen in Gleichung (13):

$\begin{align}|{\hat Z}| &= \dfrac{\sqrt{2} \, V_\text{RMS}}{\sqrt{2} \, I_\text{RMS}} \\ &= \dfrac{V_\text{RMS}}{I_\text{RMS}} \tag {14} \end{align},$

und da haben Sie es, die vorherige Gleichung zeigt, dass wir die Größe der (komplexen) Impedanz einfach als Verhältnis der Effektivspannung zum Effektivstrom berechnen können .

Beachten Sie, dass in den Gleichungen (13) und (14) die Phasenwinkel nicht benötigt werden; wir arbeiten nur mit Magnituden in diesen Gleichungen.

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Gleichung (9) ist das auf den Zeigerbereich verallgemeinerte Ohmsche Gesetz. Prüfen wir, ob die Kirchhoffschen Gesetze auf den Zeigerbereich verallgemeinern. KVL sagt dazu:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} v_n(t) = v_1(t) + v_2(t) + \cdots + v_N(t) = 0 \tag*{}$

Wie wir gesehen haben, haben in Wechselstromkreisen alle Spannungen die gleiche Frequenz, sodass wir die vorherigen Momentanspannungen in Bezug auf ihre Zeiger schreiben können:

$\begin{align} 0 &= \Re[{\tilde V_1} \, e^{j \omega t}] + \Re[{\tilde V_2} \, e^{j \omega t}] + \cdots + \Re[{\tilde V_N} \, e^{j \omega t}] \\ &= \Re[{\tilde V_1} \, e^{j \omega t} + {\tilde V_2} \, e^{j \omega t} + \cdots + {\tilde V_N} \, e^{j \omega t}] \\ &= \Re[({\tilde V_1} + {\tilde V_2} + \cdots + {\tilde V_N}) e^{j \omega t}] \tag*{} \end{align}$

Die vorherige Gleichung besagt, dass (der Realteil) das Produkt der Faktoren ist$({\tilde V_1} + {\tilde V_2} + \cdots + {\tilde V_N})$Und$e^{j \omega t}$Null ist, daher muss einer (oder beide) dieser Faktoren Null sein. Aber$e^{j \omega t}$ist niemals null, also muss der erste Faktor null sein:

${\tilde V_1} + {\tilde V_2} + \cdots + {\tilde V_N} = \displaystyle\sum_{n=1}^{N} {\tilde V}_n = 0, \tag*{}$

die die gleiche Form wie KVL für Momentanspannungen hat! KVL gilt also für Phasoren. Dasselbe gilt für KCL.

Wir können also das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz und die Kirchhoffschen Gesetze verwenden, um Wechselstromkreise zu analysieren und zu entwerfen, indem wir komplexe Zahlen verwenden.