Mehrere kollidierende Kugeln

Sie müssen ein System von einrichten$K$Gleichungen mit$K$Impuls-Unbekannte, wenn abgeleitet von der$N$Bälle, während nur$K$von ihnen kollidieren irgendwann.

So geht's:

1. Erstellen Sie einen (Block-)Vektor mit allen Geschwindigkeitsvektoren nacheinander. Die Größe ist$2N\times1$ $$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \vec{v}_1 \\ \vec{v}_2 \\ \vdots \\ \vec{v}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{y}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{y}_2 \\ \vdots \\ \dot{x}_N \\ \dot{y}_N \end{pmatrix}$$

2. Erstellen Sie eine (Block-)Matrix mit allen Massen, aber auch von$2N$Reihen

   $$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & m_1 & 0 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_2 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m_2 & & 0 & 0 \\ & & & & \ddots & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & m_N & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & m_N \end{bmatrix}$$ so dass$\mathbf{M} \mathbf{v}$wären alle Impulskomponenten.

3. Sie suchen nach der Geschwindigkeitsänderung$\Delta \mathbf{v}$aufgrund all der Impulse aus den Kollisionen. Wenn Sie die Summe aller Impulse kennen würden$\boldsymbol{\ell}$(wieder drin$2N\times1$Vektor), dann würden Sie die Geschwindigkeitsänderung schreiben als

   $$\Delta \mathbf{v} = \mathbf{M}^{-1} \boldsymbol{\ell}$$

4. Ein ... kreieren$2N \times K$Kontaktpaarblockmatrix$\mathbf{Z}$. Jede Spalte stellt einen Kontakt zwischen zwei Körpern dar ($i \rightarrow j$), indem sie den Kontaktnormalenvektor enthält$\hat{n}_{ij}$im$j$-ten Blockposition und dem negativen Normalenvektor$-\hat{n}_{ij}$im$i$-te Blockposition. Zum Beispiel:

   $$\mathbf{Z} = \begin{bmatrix} -\hat{n}_{13} & 0 & -\hat{n}_{14} \\ 0 & -\hat{n}_{24} & 0 \\ \hat{n}_{13} & 0 & 0 \\ 0 & \hat{n}_{24} & \hat{n}_{14} \end{bmatrix}$$ stellt die Kontaktpaarmatrix dar, wenn Körper ($1 \rightarrow 3$,$2 \rightarrow 3$Und$1 \rightarrow 4$) kollidieren. Der Pfeil gibt die Richtung an, in die der Normalenvektor zeigt, und somit die Richtung, in der der positive Impuls angelegt wird. Denken Sie daran, dass jeder Kontaktnormalenvektor zwei Komponenten hat$\hat{n} = ( \cos \psi, \sin \psi )$.

5. Konstruiere ein$K \times 1$Vektor unbekannter Impulsgrößen für jedes Kontaktpaar.

   $$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} J_{13} \\ J_{24} \\ J_{14} \end{pmatrix}$$ Nun wird die Summe aller Impulse berechnet $$\boldsymbol{\ell} = \mathbf{Z} \,\mathbf{J}$$

6. Berechnen Sie die relative Geschwindigkeit jedes Kontaktpaares ($K \times 1$Vektor) durch Projektion der Geschwindigkeiten entlang der Kontaktnormalen

   $$\mathbf{u}_{imp} = \mathbf{Z}^\top \mathbf{v}$$

7. Stellen Sie das Kollisionsgesetz in Bezug auf die Relativgeschwindigkeiten vor und nach der Kollision auf.

   $$\mathbf{Z}^\top \left( \mathbf{v} + \Delta \mathbf{v} \right) = -\epsilon \mathbf{Z}^\top \mathbf{v}$$ Wo$\epsilon$ist der Restitutionskoeffizient. Verschieben Sie die Bekannten auf die rechte Seite und finden Sie die Änderung der relativen Geschwindigkeiten durch $$\mathbf{Z}^\top \Delta \mathbf{v} = -(1+\epsilon) \mathbf{Z}^\top \mathbf{v} = -(1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$$

8. Setzen Sie 3. 5. und 7. zusammen, um zu machen

   $$\mathbf{Z}^\top \left(\mathbf{M}^{-1} \left( \mathbf{Z} \,\mathbf{J} \right) \right) = -(1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$$ und nach den unbekannten Impulsen auflösen $$\mathbf{J} = -\left(\mathbf{Z}^\top \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z} \right)^{-1} (1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$$ Beachten Sie, dass$\mathbf{Z}^\top \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z}$ist ein$K \times K$Matrix, die Inversion benötigt.

9. Wenn alle Impulse berechnet sind, ändert sich jeder Körpergeschwindigkeitsvektor um

   $$\Delta \mathbf{v} = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z} \,\mathbf{J}$$

Beispiel

Stellen Sie sich drei Kugeln vor, die gleichzeitig einschlagen:

Verwenden Sie dieses MATLABSkript, um ihre endgültigen Geschwindigkeiten zu finden:

%% Example triple impact (with 3D vectors)
% Three spheres impact at the same time. See Figure for their
% masses, positions and velocities before impact

% define unit vectors
o_ = [0;0;0];
i_ = [1;0;0];
j_ = [0;1;0];
k_ = [0;0;1];

R = 20;
r_1 = R*i_ 
r_2 = -R*i_
r_3 = R*tand(60)*j_

% Three possible contacts: 1*2, 2*3, 1*3
n_12 = (r_2-r_1)/norm(r_2-r_1)
n_23 = (r_3-r_2)/norm(r_3-r_2)
n_13 = (r_3-r_1)/norm(r_3-r_1)

% velocity vectors before impact
v_1 = o_;
v_2 = -1.0*n_12
v_3 = -2.0*n_13

v = [v_1;v_2;v_3]

% mass matrix
M = blkdiag(5.0*eye(3),4.0*eye(3),3.0*eye(3))

% contact pair matrix
Z = [-n_12, o_, -n_13; n_12, -n_23, o_; o_, n_23, n_13]
% Z =
% 
%     1.0000         0    0.5000
%          0         0   -0.8660
%          0         0         0
%    -1.0000   -0.5000         0
%          0   -0.8660         0
%          0         0         0
%          0    0.5000   -0.5000
%          0    0.8660    0.8660
%          0         0         0

% coefficient of restitution
eps = 0.5

% impact speeds
u_imp = Z.'*v

% impulses
J = -(1+eps)*inv(Z.'*inv(M)*Z)*u_imp
% J =
% 
%     1.7021
%     2.1702
%     4.6277

% velocity vector change
Dv = inv(M)*Z*J

% final velocity
v_final = v+Dv
% v_final =
% 
%     0.8032
%    -0.8015
%          0
%     0.3032
%    -0.4699
%          0
%     0.5904
%     0.2303
%          0


% check for error
actual = Z.'*(v+Dv);        %(relative speeds after impact) =
expected = -eps * u_imp;    % -eps*(relative speeds before impact)
err = actual-expected

% err =
% 
%   1.0e-015 *
% 
%    -0.1110
%    -0.6661
%    -0.6661

Im letzten Teil überprüfe ich die Ergebnisse gegen das Kontaktrecht und der Fehler ist ~1e-15.

Leider muss ich Jonathan Wheeler zustimmen: Es gibt keine anderen Formeln, und Ihre aktuelle Methode ist wahrscheinlich die beste, die es gibt, sogar für nur 3 Bälle.

Bei Newton's Cradle ist das Ergebnis gleich, ob sich die Bälle berühren oder nicht. Eine leichte Lücke zwischen den Kugeln ergibt das gleiche Endergebnis. Dies deutet darauf hin, dass Ihr Ansatz, die Kollision mehrerer Körper in eine Folge von paarweisen Kollisionen aufzuteilen, das richtige physikalische Ergebnis liefert. In der Praxis ist dies fast immer möglich, denn wenn die Auflösung erhöht wird – also der Zeitschritt in der Simulation verkleinert wird – dann tritt zuerst eine paarweise Kollision auf.

Der Nachteil besteht, wie Sie bereits bemerkt haben, darin, dass dieses Verfahren möglicherweise übermäßige Berechnungen erfordert, da es zu vielen erneuten Kollisionen zwischen demselben Körperpaar kommen kann. Wenn die Simulation in Echtzeit angezeigt wird, könnte die gesamte Simulation merklich verlangsamt werden, wenn eine solche Kollision auftritt. Daher die Notwendigkeit einer Methode, um das Ergebnis ohne so viel Iteration zu bestimmen.

Außer in einigen Situationen, in denen eine gewisse Symmetrie vorliegt, gibt es (soweit mir bekannt) keine bekannte geschlossene Formel, die das Ergebnis auch für einen 3-Körper-Kollision angibt, vergleichbar mit Gleichungen für den 2-Körper-Kollision. Dies liegt daran, dass die gleichzeitige Kollision von 3 starren Körpern unbestimmt ist – dh es gibt nicht genügend Einschränkungen, um die Anzahl der Variablen anzupassen.

Wie Garyp vorschlägt, bietet die Einbeziehung elastischer Verformungen und Kräfte in das Modell mehr Einschränkungen, sodass das Ergebnis bestimmt werden kann. Das Modellieren verformbarer Körper erhöht jedoch die Komplexität des Programms, und aufgrund der Kopplung zwischen Kräften erfordern die resultierenden Gleichungen wahrscheinlich eine numerische Lösung durch Iteration. Es entsteht also das gleiche Problem einer erhöhten Rechenzeit.

Symmetrische Kollisionen von 3 identischen Kugeln umfassen (i) den kolinearen Fall und (ii) eine Kugel, die sich senkrecht zu den anderen 2 bewegt, die entweder stationär sind oder sich mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zur ersten bewegen. Solche symmetrischen Fälle werden jedoch bei einer Simulation vom Molekularbewegungstyp äußerst selten sein.

Fazit: Wenn Sie möchten, dass Ihre Simulation eine genaue Darstellung einer realen 3-Körper-Kollision ist, ist Ihre aktuelle Methode (Lösen aufeinanderfolgender paarweiser Kollisionen mit ausreichender Zeitauflösung) wahrscheinlich die effizienteste verfügbare. Die gleiche Methode behandelt alle Kollisionen mit mehreren Kugeln.

Nützliche Referenzen

Frage zu elastischen Stößen und Impulserhaltung / Energieerhaltung Starrkörperstoß
, 3 Kreise im Kontakt
Berechnung eines 3-Wege-Kreisstoßes

Forschungsartikel

Ein propagatives Modell des simultanen Aufpralls: Existenz, Einzigartigkeit und Konsequenzen für das Design Überlegungen
zum gleichzeitigen Aufprall
Machen Sie einen sinnvollen Aufprall: Modellierung simultaner Reibungskollisionen in räumlichen Mehrkörpersystemen
Newtons Wiege rückgängig gemacht: Experimente und Kollisionsmodelle für die normale Kollision dreier fester Kugeln ( Zugang über paywall )
The Two Ball Bounce Problem
A State Transition Diagram for Simultaneous Collisions with Application in Billard Shooting
Restitutionseigenschaften bei direkter zentraler Kollision dreier unelastischer Kugeln
Two Interpretations of Rigidity in Starr Body Collisions ( ResearchGate Listing with citations )

Dies ist nur eine Teilantwort, aber hoffentlich hilft es.

Es gibt zwei Prinzipien, die Sie beachten müssen, wenn Sie nach Bewegung suchen. Energieerhaltung und Impulserhaltung . Nämlich,

Im Allgemeinen ist das „Drei-Körper“-Problem ziemlich schwer zu lösen, und wenn Sie können, ist es vielleicht besser, die Kollision von drei Kugeln in drei Kollisionspaaren zu modellieren. Ich glaube nicht, dass das Lösen dieser Erhaltungsgleichungen oben zu einem eleganten formalen Wann führen wird$n \ge 3$.