Mehrere Messungen der gleichen Größe - Kombinieren von Unsicherheiten

Wenn Sie Messungen mit unterschiedlichen Unsicherheiten kombinieren, ist die Mittelwertbildung nicht das Richtige. (Nun, es ist gut genug, wenn die Unsicherheiten fast gleich sind.)

Das Richtige ist die Chi-Quadrat-Analyse, die den genaueren Messungen ein höheres Gewicht verleiht. So geht's:

Sie wählen numerisch den "wahren Wert", der minimiert wird$\chi^2$. Das ist Ihre beste Vermutung.

Verwenden Sie als Nächstes die Chi-Quadrat-Verteilung, um den p-Wert zu berechnen (unter der Annahme, dass die beste Schätzung richtig ist). (Freiheitsgrad ist eins weniger als die Anzahl der Beobachtungen.) Dies wird Ihnen sagen, ob Ihre Unsicherheiten angemessen waren oder ob Sie sie unterschätzt haben. Zum Beispiel, wenn eine Messung ist$5.0 \pm 0.1$, und eine andere Messung ist$10.0 \pm 0.1$, dann haben Sie Ihre Unsicherheiten wahrscheinlich unterschätzt.

WENN Sie Ihre Unsicherheiten unterschätzt haben – was in der Praxis nicht ungewöhnlich ist – dann ist es richtig, herauszufinden, wo Sie bei Ihrer Unsicherheitsschätzung falsch gelaufen sind, und den Fehler zu korrigieren. Aber es gibt auch eine faulere Alternative, die oft gut genug ist, wenn die Einsätze niedrig sind: Sie können alle Unsicherheiten um denselben Faktor skalieren, bis Sie ein vernünftiges Ergebnis erhalten$\chi^2$p-Wert, sagen wir 0,5.

OK, jetzt haben Sie plausible Messunsicherheiten, entweder weil Sie es von Anfang an getan haben oder weil Sie sie hochskaliert haben. Als Nächstes versuchen Sie, den „wahren Wert“ zu variieren, bis der p-Wert unter beispielsweise 5 % sinkt. Dieses Verfahren gibt Ihnen Fehlerbalken für die untere Grenze und die obere Grenze für Ihre endgültige Best-Guess-Messung.

Ich habe das seit vielen Jahren nicht mehr gemacht, entschuldigen Sie die falsche Erinnerung. Ich denke, es wird in Bevington & Robinson diskutiert.

Du scheinst hier mehrere Konzepte durcheinander zu bringen.

Insbesondere interessiert Sie der Mittelwertfehler, beziehen Sie sich auf den Summenfehler (den Sie auf dem Weg zum Mittelwertfehler benötigen) und sprechen Sie über die Standardabweichung.

(Alle funktionieren hier in der naiven Version unter der Annahme von Nullkorrelation.)

• Fehler einer Summe unsicherer Größen: $X = \sum_i x_i$und$\Delta X = \sqrt{ \sum_i \left(\Delta x_i\right)^2 }$

• Fehler des Mittelwerts unsicherer Größen: Teilen Sie die Summe durch die Anzahl der Messungen. Die Anzahl der Messungen ist definitiv , Sie sind sich überhaupt nicht sicher, wie viele Zahlen Sie verarbeitet haben, also ist dies nur eine Division.

  $$\bar{x} = \frac{X}{N} = \frac{\sum_i x_i}{N} \quad ,$$ und $$\Delta \bar{x} = \frac{\Delta X}{N} = \frac{\sqrt{\sum_i \left( \Delta x_i\right)^2}}{N} \quad.$$ (Beachten Sie, dass Sie später im Zusammenhang mit großen Stichproben auf den Ausdruck „Fehler des Mittelwerts“ stoßen werden. Das ist etwas anderes.)

  Wenn Sie individuell sind$\Delta x_i$s stark variieren, ist es besser, den fehlergewichteten Mittelwert zu verwenden .

• Standardabweichung : Dies ist eine Zahl, die Ihre Streuung ausdrückt$x_i$s, und wird ohne Bezugnahme auf Ihre dargestellt$\Delta x_i$s. Generell vertreten mit$\sigma$und wir rufen an$\sigma^2$die "Abweichung".

  $$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_i \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \quad ,$$ mit einer kleinen Korrektur, die Sie bekommen müssen$\bar{x}$aus derselben Liste (die Sie verwenden), die Sie verwenden $$\sigma^2 = \frac{1}{N-1} \sum_i \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \quad .$$

Wenn Sie Ihre geschätzt haben$\Delta x_i$Wenn es richtig ist, sollte es eine Beziehung zwischen der Standardabweichung und dem Fehler des Mittelwerts geben, aber das ist für einen anderen Tag.

Sie bemängeln in Ihrer Frage, dass der Fehler vom Mittelwert bis zur Standardabweichung nicht in den Grenzwert geht$\Delta x_i = 0$, aber das liegt daran, dass sie unterschiedliche Konzepte darstellen. Es ist möglich, Experimente durchzuführen, bei denen die einzelnen Messwerte aus einer breiten Verteilung stammen, aber sehr gut bekannt sind (hohe Standardabweichung, aber geringe individuelle Unsicherheiten) oder bei denen Sie dieselbe zugrunde liegende Größe mit schlechten Instrumenten erneut messen (null Standardabweichung, aber groß$\Delta x_i$s). In vielerlei Hinsicht können die Fälle mit der gleichen Mathematik behandelt werden, aber sie sind unterschiedlich.