Nachweis der Nichtorthogonalität von E- und H-Feldern einer elektromagnetischen Welle in bestimmten Materialien?

Schauen Sie sich die Maxwell-Gleichungen an (die Version, wenn Licht in Materie ist). Was Sie bemerken werden, ist, dass sich das Faradaysche Gesetz darauf bezieht$\vec{E}$Zu$\vec{B}$und das Amperesche Gesetz betrifft$\vec{H}$Zu$\vec{D}$. Erinnere dich daran$\vec{B}$Und$\vec{D}$sind die Größen, die die magnetische Permeabilität des Materials enthalten,$\mu$, und die Dielektrizitätskonstante,$\epsilon$, bzw. Im freien Raum,$\mu$Und$\epsilon$sind einfach Zahlen. Aber Materialien können im Allgemeinen ungewöhnliche dielektrische und magnetische Reaktionen haben, wie z$\mu$Und$\epsilon$müssen als Tensoren beschrieben werden , manchmal sogar mit außerdiagonalen Elementen.

Was bedeutet in diesem Zusammenhang ein außerdiagonales Element? Darunter versteht man zum Beispiel ein elektrisches Feld$\vec{E}$polarisiert in der$x$Richtung kann im Allgemeinen ein elektrisches Verschiebungsfeld erzeugen$\vec{D}$das hat Komponenten in der$x$,$y$, Und$z$Richtungen. Betrachten Sie bei dieser Möglichkeit das Faradaysche Gesetz und das Amperesche Gesetz noch einmal, und Sie werden sehen, dass die resultierende Wellengleichung im Allgemeinen diese seltsamen Nicht-Orthogonalitäten zulassen kann.

Hinweis: Zusätzliches Material unten hinzugefügt.

Soweit ich das beurteilen kann, sind die elektrischen und magnetischen Felder immer senkrecht (zumindest in linearen Medien, was durch die Frage impliziert zu sein scheint). In verlustbehafteten Medien ist es jedoch möglich, dass die Ausbreitungsrichtung – definiert durch die Richtung senkrecht zu einer Ebene konstanter Phase – nicht senkrecht dazu ist$\vec H$. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt, entnommen aus Stratton, Julius Adams, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill (1941) .

In der Figur ist Medium (2) ein verlustfreies Medium, während Medium (1) verlustbehaftet ist. Für ein einfallendes elektrisches Feld entlang$\hat y$, hat das übertragene Feld in Medium (1) die Form

$$\vec E_t(x,z)= \hat y E_{t0} e^{-p z} e^{-i (x\beta_2\sin\theta_2+qz)}$$ In Medium (1) sind die Ebenen konstanter Amplitude ( $pz=$konstant) richten sich nicht nach den Ebenen konstanter Phase aus, die durch definiert sind $$\vec k_\psi\cdot \vec r=\hbox{constant}=qz+\beta_2 x \sin\theta_2\, .$$ Der Ausdruck für das übertragene Magnetfeld ist $$\vec H_t(x,z)=\frac{E_{t0}}{\omega\mu_0}\left(\hat x i(p+iq)+\hat z \beta_2\sin\theta_2\right)e^{-p z} e^{-i (x\beta_2\sin\theta_2+qz)}$$ und das kann man verifizieren $\vec k_\psi\cdot \vec H_t\ne 0$.

Neben dem oben zitierten Stratton ist eine weitere gute Quelle dafür: US Inan, AS Inan und RK Said, Engineering Electromagnetics and waves, Pearson (2015)

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Zusätzliche Elemente zu meiner ursprünglichen Antwort

Nach einiger Recherche scheint es so$\vec E$Und$\vec B$stehen zumindest in verlustfreien Medien immer senkrecht, auch wenn das Material elektrisch anisotrop ist. Das lässt sich erahnen

$$\vec\nabla\times \vec E= -\frac{\partial}{\partial t}\vec B\, .$$

In einem elektrisch anisotropen, aber magnetisch isotropen Medium ,$\vec H$Und$\vec B$sind parallel, aber$\vec D$muss nicht parallel sein$\vec E$. Trotzdem das Paar$\vec D$Und$\vec E$stehen senkrecht dazu$\vec B$oder$\vec H$. Dies wird in der nachstehenden Abbildung veranschaulicht, die aus Kapitel XIV des

• Born, Max und Emil Wolf. Prinzipien der Optik: elektromagnetische Theorie der Ausbreitung, Interferenz und Beugung von Licht. Elsevier, 2013.

In der Figur,$\hat s$ist die Ausbreitungsrichtung in dem Sinne, dass$\vec E\sim e^{i\omega \left(\frac{n}{c}(\vec r\cdot \vec s-t)\right)}$und ähnlich für$\vec D, \vec H$Und$\vec B$. Die Richtung$\hat t=\vec S/\vert \vec S\vert$(etwas unglückliche Symbolwahl) ist die Richtung des Poynting-Vektors, also die Ausbreitungsrichtung der Energie (die nicht mit der Ausbreitungsrichtung übereinstimmt).

Es gibt eine Fußnote in diesem Kapitel, die besagt, dass ein Teil davon lautet

Es gibt auch magnetische Kristalle, aber da der Einfluss der Magnetisierung auf optische Phänomene (schnelle Oszillationen) gering ist, kann die magnetische Anisotropie vernachlässigt werden.

Wenn das Material verlustbehaftet ist, kehren wir zum ursprünglichen Teil meiner Antwort zurück.