Negative Temperatur des De-Sitter-Horizonts?

Ich erwäge die$4D$de-Sitter-Raumzeit, in statischen Koordinaten (ich verwende$c = 1$Und$k_{\text{B}} = 1$):

$$\begin{equation}\tag{1} ds^2 = (1 - \frac{\Lambda}{3} \, r^2) \, dt^2 - \frac{1}{1 - \frac{\Lambda}{3} \, r^2} \, dr^2 - r^2 \, d\Omega^2, \end{equation}$$ Wo$\Lambda > 0$ist die kosmologische Konstante. Diese Raumzeit hat einen Horizont um jeden statischen Beobachter herum$r = \ell_{\Lambda} \equiv \sqrt{3 / \Lambda}$. Das gesamte Raumvolumen innerhalb dieses Horizonts lässt sich leicht aus der obigen Metrik berechnen (ist es nicht $4 \pi \ell_{\Lambda}^3 / 3$): $$\begin{equation}\tag{2} \mathcal{V} = \pi^2 \ell_{\Lambda}^3, \end{equation}$$ und der Horizontbereich ist$\mathcal{A} = 4 \pi \ell_{\Lambda}^2$. Das Vakuum hat eine Energiedichte und einen Druck: $$\begin{align}\tag{3} \rho &= \frac{\Lambda}{8 \pi G}, & p &= -\, \rho. \end{align}$$ Somit befindet sich die Vakuumenergie im gesamten Volumen des beobachtbaren de-Sitter-Universums $$\begin{equation}\tag{4} E = \rho \, \mathcal{V} = \frac{3 \pi \ell_{\Lambda}}{8 G}. \end{equation}$$ Beachten Sie, dass die Enthalpie trivialerweise 0 ist (was bedeutet das?): $$\begin{equation} H = E + p \mathcal{V} = 0. \end{equation}$$

Ich betrachte jetzt das erste Hauptgesetz der Thermodynamik und vergleiche verschiedene De-Sitter-Universen, die sich geringfügig unterscheiden$\Lambda$(oder$\ell_{\Lambda}$):

$$\begin{equation}\tag{5} dE = T \, dS - p \, d\mathcal{V} = T \, dS + \rho \, d\mathcal{V}. \end{equation}$$ Einsetzen von (2) und (4) ergibt Folgendes: $$\begin{equation}\tag{6} T \, dS = -\, \frac{3 \pi}{4 G} \, d\ell_{\Lambda}. \end{equation}$$ Wenn$d\ell_{\Lambda} > 0$Und$dS > 0$, dies impliziert eine negative Temperatur! Wenn ich die Entropie verwende$S = \mathcal{A}/ 4 G$(Beachten Sie, dass diese Entropieformel sehr umstritten ist$\Lambda > 0$), Dann$dS = 2 \pi \ell_{\Lambda} \, d\ell_{\Lambda} / G$Und $$\begin{equation}\tag{7} T = -\, \frac{3}{8 \, \ell_{\Lambda}}. \end{equation}$$ Dieses Ergebnis ist rätselhaft!

Ich frage mich jetzt, ob die$T \, dS$Der Begriff sollte stattdessen besser durch die Arbeit ersetzt werden, die von der Oberflächenspannung am Horizont geleistet wird:$T \, dS \; \Rightarrow \; -\, \tau \, d\mathcal{A}$(Ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtige Zeichen davor habe$\tau$). In diesem Fall bekomme ich die Spannung des Horizonts (ich weiß nicht, ob das Sinn macht!):

$$\begin{equation}\tag{8} \tau = \frac{3}{32 G \ell_{\Lambda}}. \end{equation}$$ Ist die obige Argumentation also fehlerhaft? Was ist daran falsch? Jeder Hinweis, der bestätigt, dass die Temperatur des de-Sitter Horizon negativ sein könnte oder dass die Entropie dort wirklich undefiniert ist (oder das$S = \mathcal{A} / 4 G$ist in diesem Fall falsch)? Oder sollte der Entropiebegriff$T \, dS$eigentlich als Spannungsarbeit interpretiert werden$-\, \tau \, d\mathcal{A}$stattdessen am Horizont?

Ist es in (4) und (5) zulässig, nur die Energie innerhalb des Horizonts zu nutzen, ohne den äußeren Teil?

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EDIT: Die Energie (4) ist die Energie des Vakuums innerhalb des Horizonts. Die Gravitationsenergie wird nicht berücksichtigt. Ich glaube jetzt, dass es die Komar-Energie im gleichen Volumen ist, die in Betracht gezogen werden sollte. Die Integration ergibt die folgende Komar-Energie innerhalb des Volumens (2):

$$\begin{equation}\tag{9} E_K = -\, \frac{\ell_{\Lambda}}{G}. \end{equation}$$ Aber das Problem mit der Temperatur ist immer noch dasselbe: Temperatur ist negativ, wenn$d\ell_{\Lambda} > 0$(was das gleiche ist wie$d\Lambda < 0$) und annehmen$dS > 0$(oder$S = \mathcal{A}/ 4 G$, was für die de-Sitter-Raumzeit falsch sein kann).