Nehmen Sie an, dass ein Stern eine einheitliche Massendichte hat. Wie skaliert dann die Temperatur als Funktion der Entfernung zum Zentrum?

Nehmen Sie an, dass ein Stern eine einheitliche Massendichte hat. Wie skaliert dann die Temperatur als Funktion der Entfernung zum Zentrum?
Hinweis: Ich suche keine Antwort, die Ableitungen oder Integrationen beinhaltet.

Folgendes habe ich getan:
Der Stern ist im Gleichgewicht, also der Druck in der Ferne r muss der Schwerkraft in der Ferne entsprechen r . Druck wird durch gegeben P = n K T , und so P × EIN r e a = F g .
Dann n K T × 4 π r 2 = F G . Die Masse des im Radius enthaltenen Teils des Sterns r aus der Mitte ist 4 3 π r 3 × m s n wo m s ist die Masse jedes Teilchens und n ist die Anzahl der Teilchen pro Volumen.
Dann können wir umschreiben n K T × 4 π r 2 = m ( G 4 3 π r 3 × m s n F r 2 ) und vereinfachen zu K T r = m 3 G m s . Isolieren T wir bekommen das T = m G m s 3 K r .
Dies scheint zu implizieren, dass die Temperatur abnimmt, je weiter wir vom Kern entfernt sind, aber ich bin mir nicht sicher, was m sollte für in stehen F g = m g , sollte m = m s , dh die Masse eines einzelnen Teilchens sein? Oder tut m selbst vom Radius abhängen, in welchem ​​Fall die Antwort, die ich erhalten habe, ungültig ist.
Kann jemand überprüfen, ob meine Antwort richtig ist?

m ist die Masse des Materials "oberhalb" dieser Fläche. Oben in der Atmosphäre, niedriger Druck. Unten in der Atmosphäre, hoher Druck.
Denken Sie darüber nach, was Sie versuchen auszugleichen. Sie sagen, dass die Kraft auf thermischen Druck zurückzuführen ist P × EIN r e a , aber wovon ist das der Bereich? Wenn der Druck auf die Fläche von etwas ausgeübt wird, muss dies zwangsläufig der Schwerkraft auf dasselbe entsprechen. Sie haben eine Trennung davon, worauf der Druck ausgeübt wird und woran die Schwerkraft zieht.
Die Annahme eines solchen Sterns erfordert, dass einige Gesetze der Physik gebrochen werden, daher fällt es mir schwer zu verstehen, wie man zu einer vernünftigen Schätzung von irgendetwas kommen könnte.

Antworten (2)

Ich bin mir nicht sicher, was Sie meinen, wenn Sie nach einer Antwort ohne Ableitungen suchen? Natürlich muss man die Mathematik lösen, um eine mathematische Antwort zu bekommen.

Die handwinkende Antwort lautet, dass der Stern in der Mitte heißer sein muss, da der Druck bei konstanter Dichte von der Temperatur abhängt und Sie einen negativen Druckgradienten benötigen, um das Gewicht des darüber liegenden Gases zu tragen.

Die Antwort ist:

Die Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts ist

d P d r = − ρ g ,
wo ρ ist die Massendichte und g ist die Schwerkraft am Radius r , was nach Newtons Schalensatz auf die gesamte innere Masse zurückzuführen ist r .

Diese Gleichung lässt sich leicht ableiten, indem man das Kräftegleichgewicht auf einer Gasplatte im Stern betrachtet (Ihr Fehler oben bestand darin, dass Sie nicht erkannt haben, dass es die Druckdifferenz über der Platte ist, die die Aufwärtskraft liefert).

Wenn die Dichte (und die Zusammensetzung und der Ionisationszustand) konstant sind, kann diese Gleichung geschrieben werden als

ρ k B m d T d r = − ρ 4 π G r 3 ρ 3 r 2 ,
wo m die Masse pro Teilchen ist und ein perfektes Gas angenommen wurde.

Integrieren nach Radius und Annehmen T ( r = 0 ) = T 0 , wir erhalten

T = T 0 − 2 π G ρ m 3 k B r 2

Schließlich, wenn der Stern Radius hat R , dann ist dies der Radius bei T = 0 , da darüber hinaus nichts unterstützt werden konnte. In welchem ​​Fall

T = 2 π G ρ m 3 k B ( R 2 − r 2 )

Oder in Bezug auf die Masse M

T = G M m 2 k B R 3 ( R 2 − r 2 )

Konstante Dichte ist natürlich eine schlechte Annäherung. Die obige Behandlung ergibt eine zentrale Temperatur von 7 Millionen Kelvin für die Sonne, wenn man davon ausgeht m ≃ 10 − 27 kg.

Basierend auf Informationen von CalTech ist eine konstante Dichte unrealistisch. Ich würde keinen von einer solchen Annahme abgeleiteten Gleichungen viel Glauben schenken.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das geht völlig am Problem vorbei. Dies ist eindeutig eine Hausaufgabenfrage, die das OP zu lösen versucht, und die Annahme einer konstanten Dichte dient lediglich dazu, das Problem zu vereinfachen. Zu sagen, dass es so etwas nicht gibt, ist wie zu sagen, dass man Physik 101 nicht machen kann, weil es keine reibungslosen Systeme gibt.
Sie führen diese Art der Berechnung durch, weil Sie eine Antwort erhalten, die innerhalb eines Faktors von 2-3 richtig ist. Darüber hinaus können Sie durch physikalische Überlegungen sagen, ob Ihre Antwort hoch oder niedrig sein wird. Sie könnten diese Antwort dann einklammern, indem Sie eine andere Annahme treffen.
Nehmen Sie an, dass ein Stern eine einheitliche Massendichte hat. Wie skaliert dann die Temperatur als Funktion der Entfernung zum Zentrum?
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