Neutronenstern: Beschleunigung im freien Fall

Ich vermute, Ihre Fragen laufen alle darauf hinaus, ob allgemeine relativistische Effekte an der Oberfläche eines Neutronensterns wichtig werden. Um dies zu beantworten, können wir die flache Raummetrik (in Polarkoordinaten) vergleichen:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega^2 \tag{1}$$

mit der Schwarzschild-Metrik, die die Geometrie außerhalb einer kugelsymmetrischen Masse beschreibt:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)} + r^2 d\Omega^2 \tag{2}$$

Der Unterschied ist dieser Faktor$1-2GM/c^2r$, was wir auch als schreiben können$1-r_s/r$Wo$r_s$ist der Schwarzschild-Radius -$r_s = 2GM/c^2$. Wenn wir die Masse und den Radius des Neutronensterns einspeisen, stellen wir fest, dass dieser Faktor ungefähr ist$0.72$, also sind allgemeine relativistische Effekte in der Tat wichtig.

Ihre Frage (1) wird beantwortet in Was ist die Gewichtsgleichung durch die allgemeine Relativitätstheorie? . Die von einem Beobachter an der Oberfläche gemessene Koordinatenbeschleunigung beträgt:

$$a = \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}} \tag{3}$$

es unterscheidet sich also von der Newtonschen Vorhersage um (in diesem Fall) einen Faktor von ungefähr$\sqrt{0.72}$.

Zu Ihren Fragen (2) und (3) kenne ich den Ausdruck für die weit vom Stern entfernt gemessene Koordinatenbeschleunigung nicht, aber er wird nicht mit Gleichung (3) identisch sein. Ein entfernter Beobachter sieht fallende Objekte langsam, wenn sie sich dem Ereignishorizont nähern, und nähern sich am Horizont asymptotisch der Geschwindigkeit Null. Die Koordinatenbeschleunigung unterscheidet sich also offensichtlich von der in Horizontnähe gemessenen Koordinatenbeschleunigung.

Nachdem ich die Antwort von John Rennie oben gelesen habe, werde ich eine Antwort geben, die hoffentlich den gleichen Sinn hat, die hoffentlich Sinn macht , aber die hoffentlich ein Problem aufzeigt.

1. Ist die Beschleunigung im freien Fall dieselbe wie die Koordinatenbeschleunigung für einen hypothetischen Beobachter, der auf der Sternoberfläche ruht?

Ja und nein. Ja, weil der fallende Körper fällt, wie er fällt, egal wie die beiden Beobachter es beschreiben mögen. Dies ist jedoch nicht der Fall, da der Beobachter auf der Oberfläche der gravitativen Zeitdilatation unterliegt. Er geht langsamer, also würde er sagen, die Dinge fallen schneller.

2. Ist die Freifallbeschleunigung gleich der Koordinatenbeschleunigung für einen ruhenden Beobachter in großer Entfernung vom Stern?

Ja und nein. Ja, weil der Körper so fällt, wie er fällt, und weil diese Frage nach einer Newtonschen Antwort sucht, bei der die Beschleunigung des freien Falls diejenige ist, die vom entfernten Beobachter mit einem einfachen Ausdruck beschrieben wird. Es ist jedoch nein, weil die Newtonsche Antwort allmählich von der GR-Antwort abweicht und sich ein Widerspruch abzeichnet.

3. Hat die Freifallbeschleunigung an der Oberfläche nach Ansicht beider Beobachter den gleichen Wert?

Nein. Ihre Sekunden sind unterschiedlich, sie sind sich nicht einig, dass es etwa 8,2 x 10¹¹ m/s² sind. Und selbst wenn sie Notizen vergleichen und die gravitative Zeitdilatation berücksichtigen, droht dieser Widerspruch immer noch. LOL, es erinnert mich an das Ende von The Terminator , wenn der Junge sagt, dass ein Sturm kommt .

4. Ist der Newtonsche Ansatz$a=F_g/m=G*M_{star}/R^2$richtig, in Anbetracht der starken Schwerkraft an der Oberfläche?

Nein. Schauen Sie sich jetzt an, was John Rennie sagte, als er sich auf das Schwarze Loch bezog. Der entfernte Beobachter sieht das fallende Objekt langsam auf Nullgeschwindigkeit . An der Grenze sagt der entfernte Beobachter also nicht , dass die Schwerkraft an der Oberfläche stark ist. Er sagt, es geht weg.

Houston, wir haben ein Problem!