Zwei Bedeutungen der Beschleunigung in Gravitationsfeldern?

Wir können nicht von einem Objekt sprechen, das "nicht beschleunigt". Wir können nur davon sprechen, dass ein Objekt " in Bezug auf ein bestimmtes Bezugssystem, in dem wir Ort und Zeit messen, nicht beschleunigt ". Solche langen Sätze vermeidet man oft, um sich das Leben zu erleichtern. Solche Versuche, das Leben einfacher zu machen, können jedoch zu Missverständnissen führen.

Beispiel: Sie sitzen in einem Sportwagen und treten aufs Gaspedal. Der Sportwagen beschleunigt gegenüber dem Bezugssystem Straße. Außerdem beschleunigen Sie in Bezug auf das Bezugssystem der Straße. Sie beschleunigen jedoch nicht gegenüber dem Fahrersitz. Deshalb bleiben Sie auf dem Fahrersitz (Sie werden gegenüber dem Fahrersitz nicht beschleunigt).

Um das Beispiel Apfel richtig zu beschreiben, müssen wir uns also zunächst für ein Bezugssystem entscheiden. Die Beschreibung, die wir machen werden, hängt vom Bezugssystem und von der physikalischen Theorie ab, die wir verwenden.

Lassen Sie uns den Standpunkt der Allgemeinen Relativitätstheorie einnehmen, da es sich um eine gute Theorie zum Verständnis der Gravitation handelt. Die Gravitation wird hier nicht als Kraft, sondern als Teil der umgebenden Geometrie betrachtet.

Wählen wir nun das Bezugssystem eines Apfels im freien Fall. Dieser fallende Apfel spürt keine Kraft und beschleunigt WRT nicht auf das gewählte Referenzsystem. Der fallende Apfel wird zu seinen Brüdern und Schwestern aufblicken, die noch am Stamm hängen. Der Apfel wird sagen: "Meine Brüder und Schwestern werden durch den Stiel nach oben gedrückt und aufgrund dieser Kraft beschleunigen sie sich nach oben in Bezug auf mich." In GR ist ein frei fallendes Bezugssystem ein Inertialsystem. Die Beobachtung stimmt also auch mit der Aussage überein, dass „Kraft führt zu Beschleunigung“ nur in Inertialsystemen gilt.

Wählen wir nun das Referenzsystem der Äpfel, die noch am Baum hängen. Diese Äpfel spüren eine nach oben gerichtete Zugkraft vom Stiel. Sie wundern sich, dass sie nicht bzgl. des gewählten Bezugssystems beschleunigen. Sie verstehen jedoch, dass das Gesetz „Kraft führt zu Beschleunigung“ nur in Inertialsystemen gilt. Sie sehen also keine Inkonsistenz, da sie sich nicht in einem Inertialsystem befinden.

Lassen Sie uns nun den Standpunkt der speziellen Relativitätstheorie verwenden. Hier ist der Begriff des Inertialsystems ein anderer und auch der der Gravitation. Gravitation ist jetzt eine Kraft und ein frei fallendes Bezugssystem ist kein Inertialsystem mehr. Die Erklärung ist immer noch konsistent innerhalb der Theorie.

Wählen wir zunächst das Bezugssystem des Apfels im freien Fall. Auf den Apfel wirkt die Schwerkraft. Der Apfel beschleunigt jedoch nicht. Das ist in Ordnung. In SR ist ein frei fallendes System kein Inertialsystem und daher erwarten wir nicht "keine Beschleunigung = keine Kraft". Der Apfel spürt keine Kraft. Dies ist auch in Ordnung, da die Gravitationskraft durch die Trägheitskraft kompensiert wird, die auf Beobachtungen in einem nicht-inertialen System zurückzuführen ist.

Wählen wir nun das Referenzsystem der Äpfel, die noch am Baum hängen. Auch das ist kein Inertialsystem (Rotation der Erde um ihre Achse, Rotation der Erde um die Sonne). Für unsere Zwecke können wir diese Effekte jedoch vernachlässigen, da sie klein sind. Wir haben hier mehr oder weniger ein Inertialsystem. Die im Baum sitzenden Äpfel werden argumentieren: Auf uns wirkt die Schwerkraft und diese wird durch die Kräfte des Stammes kompensiert. Wir werden also nicht von einer Nettokraft beaufschlagt. Wir spüren jedoch die Spannung zwischen der Schwerkraft und dem Stiel in unserem Nacken, aber die Nettokraft ist null. Da wir uns in einem Inertialsystem befinden, gilt das Konzept, dass keine Nettokraft keine Beschleunigung bzgl. dieses Systems bedeutet. Das ist in Ordnung. Der herunterfallende Apfel wird von der Schwerkraft gezogen und beschleunigt bzgl. dieses Inertialsystems. Das ist auch in Ordnung.

Das Verwirrende ist: Es hängt 1) vom gewählten Bezugssystem und 2) von der gewählten Theorie ab, wie wir argumentieren müssen. Die Argumente sehen immer anders aus und die Konzepte auch. Beispielsweise wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie die Schwerkraft nicht als Kraft betrachtet. Dennoch können wir im gewählten Rahmen konsequent argumentieren.

Wenn wir mit dem Konzept einer Geodätischen in der Raumzeit vertraut sind, können wir die Argumentation sogar auf diese Umgebung ausdehnen. Der frei fallende Apfel bewegt sich auf einer Geodäte und spürt keine Kraft. Die Äpfel am Stiel werden durch den Stiel aus der Geodäte gezogen und spüren eine Kraft.

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Ein Beschleunigungsmesser, der am Apfel am Baum befestigt ist, zeigt eine Anzeige von 1 g an. Ein am fallenden Apfel angebrachter Beschleunigungsmesser zeigt eine Anzeige von 0 g (bei Vernachlässigung des Luftstroms, Annahme von Vakuum, Vernachlässigung der Feldinhomogenität). Lustiges Experiment: Machen Sie einen Fallschirmsprung (und Sie werden es selbst erleben).

In GR bleiben und Geodätisch verwenden: Wir können ein generisches Referenzsystem konstruieren, wenn wir Geodätisch sprechen. Dies ist im GR-Sinne lokal träge. Der frei fallende Apfel wird bzgl. dieses geodätischen Bezugssystems unbeschleunigt (und bleibt auf dem geodätischen), er spürt keine Kraft. Der Stängelapfel wird bzgl. dieses geodätischen Bezugssystems beschleunigt (und weicht daher in seiner Bewegung vom geodätischen ab), er spürt den Zug des Stengels (und in diesem Modell keine Schwerkraft, da diese in der Geometrie vorausgesetzt wird).

Der beste Weg, sich der Beschleunigung in der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zu nähern, ist die Verwendung der Vierer-Beschleunigung . Dies ist ein Vierervektor, also ist seine Norm eine skalare Invariante, die wir die Eigenbeschleunigung nennen . Die physikalische Bedeutung der Eigenbeschleunigung ist die Beschleunigung, die ein Beobachter in seinem Ruhesystem spürt.

Wenn ich zum Beispiel an meinem Schreibtisch sitze und dies tippe, spüre ich eine Beschleunigung von$1g$damit ich weiß, dass meine richtige beschleunigung sein muss$1g$. In meinem Fall ist diese Beschleunigung das Ergebnis des Bodens unter mir, der eine Aufwärtskraft von ausübt$mg$auf mich. Dasselbe gilt für Ihren Apfel, obwohl in diesem Fall die richtige Beschleunigung von$1g$liegt an der nach oben gerichteten Kraft$mg$angewendet von dem Ast, an dem der Apfel hängt (was letztendlich aus dem Boden stammt, in dem der Baum verwurzelt ist).

Die vier Beschleunigungen sind durch die Gleichung gegeben:

Wo$x^\alpha$ist die Position und$U^\alpha$ist die vier Geschwindigkeit. Sehen Sie sich die beiden Terme in dieser Gleichung an. Der erste Term sieht aus wie eine einfache doppelte Ableitung der Position mit der Zeit (obwohl es die Eigenzeit ist, nicht die Koordinatenzeit). Der zweite Term ergibt sich aus der Krümmung. Die Objekte$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$sind die Christoffel-Symbole und beschreiben die Krümmung (in meinen Koordinaten).

Betrachten Sie den Apfel, den Sie als Beispiel verwendet haben. Im Ruhesystem des Apfels ist er also stationär$d^2x^\alpha/d\tau^2 = 0$. Das bedeutet, dass die vierfache Beschleunigung des Apfels nur durch den Krümmungsterm gegeben ist:

Der Grund, warum der Apfel eine Viererbeschleunigung ungleich Null hat und daher eine Eigenbeschleunigung ungleich Null, liegt an der Krümmung der Raumzeit. In der flachen Raumzeit die Christoffel-Koeffizienten$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$sind alle Null und daher muss die Viererbeschleunigung Null sein. Deshalb wäre der Apfel weit weg von allen Massen schwerelos, wo die Raumzeit flach wäre.

Und unsere Gleichung (1) für die Vierfachbeschleunigung erklärt die geodätische Bewegung und was es bedeutet, schwerelos zu sein. Wenn Sie schwerelos sind, muss Ihre Eigenbeschleunigung Null sein und daher muss Ihre Viererbeschleunigung Null sein. Wenn wir Gleichung (1) nehmen und setzen$A^\alpha=0$dann bekommen wir:

und das ist die geodätische Gleichung, dh die Flugbahn$\mathbf{x}(\tau)$die diese Gleichung löst, ist diejenige, die die freie Bewegung beschreibt. Wenn der Stiel des Apfels bricht und er zu fallen beginnt, wird seine Bewegung durch die geodätische Gleichung beschrieben.

Wenn Sie interessiert sind, gehe ich in meiner Antwort auf Wie erklärt "gekrümmter Raum" die Gravitationsanziehung näher darauf ein ? Es gibt auch eine verwandte Diskussion in Wenn die Schwerkraft keine Kraft ist, wie werden dann Kräfte in der realen Welt ausgeglichen?