Newtons drittes Bewegungsgesetz, wer kann mir sagen, wie ich unten abziehen kann?

Question

Newtons drittes Bewegungsgesetz, wer kann mir sagen, wie ich unten abziehen kann?

Shiyi

Quelle: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/lectures/node11.html#e3.24

Stellen Sie sich ein System von N gegenseitig interagierenden Punktobjekten vor.

Newtons zweites Bewegungsgesetz gilt für die $i$ Objekt ergibt:

M_{ich} \frac{D^{2} \vec{R_{ich}}}{D T^{2}} = \sum_{J = 1, N}^{J \neq ich} \vec{F_{ich J}}

$m_i \frac {d^2 \vec {r_i}}{dt^2}=\sum_{j=1,N}^{j\neq i} \vec {f_{ij}}$ Nehmen wir nun die obige Gleichung und summieren sie über alle Objekte. Wir erhalten

\sum_{ich = 1, N} M_{ich} \frac{D^{2} \vec{R_{ich}}}{D T^{2}} = \sum_{ich, J = 1, N}^{J \neq ich} \vec{F_{ich J}}

$\sum_{i=1,N} m_i \frac {d^2 \vec {r_i}}{dt^2}= \sum_{i,j=1,N}^{j\neq i} \vec {f_{ij}}$ Aufgrund des dritten Newtonschen Bewegungsgesetzes ist die rechte Seite der Gleichung gleich 0, aber die Frage ist, dass ich nicht verstehen kann, wie sich die linke Seite der Gleichung nach unten dreht?

M \frac{D^{2} \vec{R_{C M}}}{D T^{2}} = \vec{0}

$M\frac {d^2\vec {r_{cm}}}{dt^2}=\vec 0$ Wo

M = \sum_{i = 1}^{N} m_{i}

$M=\sum_{i=1}^{N}m_i$ ist die Gesamtmasse. Die Quantität

\vec{r_{c m}}

$\vec {r_{cm}}$ ist die Vektorverschiebung des Massenmittelpunkts des Systems, bei dem es sich um einen imaginären Punkt handelt, dessen Koordinaten die massengewichteten Mittelwerte der Koordinaten der Objekte sind, aus denen das System besteht: dh

\vec{R_{C M}} = \frac{\sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} \vec{R_{ich}}}{\sum_{ich = 1}^{N} M_{ich}}

$\vec {r_{cm}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i \vec {r_i}}{\sum_{i=1}^{N}m_i}$

Antworten (3)

Newtons drittes Bewegungsgesetz, wer kann mir sagen, wie ich unten abziehen kann?

Benutzer238497 · Answer 1

Der Ortsvektor des Massenmittelpunkts ist definiert als:

R_{C M} = \frac{\sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} R_{ich}}{M}

$\mathbf {r_{cm}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i \mathbf {r_i}}{M}$ dh,

M R_{C M} = M_{1} R_{1} + M_{2} R_{2} + M_{3} R_{3} + . . . + M_{N} R_{N}

$M \mathbf {r_{cm}}=m_1 \mathbf r_1+m_2 \mathbf r_2+ m_3 \mathbf r_3+...+m_N \mathbf r_N$

\Rightarrow M \frac{D^{2} R_{C M}}{D T^{2}} = M_{1} \frac{D^{2} R_{1}}{D T^{2}} + M_{2} \frac{D^{2} R_{2}}{D T^{2}} + . . . + M_{N} \frac{D^{2} R_{N}}{D T^{2}}

$\Rightarrow M \frac {d^2 \mathbf {r_{cm}}}{dt^2} = m_1 \frac {d^2 \mathbf {r_{1}}}{dt^2}+ m_2 \frac {d^2 \mathbf {r_{2}}}{dt^2}+...+m_N \frac {d^2 \mathbf {r_{N}}}{dt^2}$ (Doppelte Differenzierung beider Seiten) Hier

M = \sum_{i = 1}^{N} m_{i}

$M=\sum_{i=1}^{N}m_i$ . Da die einfache Differentiation des Ortsvektors die Geschwindigkeit ergibt

v

$\mathbf v$ und doppelte Differentiation gibt Beschleunigung

a

$\mathbf a$ . Deshalb

\frac{D^{2} R_{C M}}{D T^{2}} = A

$\frac {d^2 \mathbf {r_{cm}}}{dt^2} = \mathbf a$ Das bedeutet, dass

\sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} \frac{D^{2} R_{ich}}{D T^{2}} = M \frac{D^{2} R_{C M}}{D T^{2}} = M A = F_{N e T}

$\sum_{i=1}^{N} m_i \frac {d^2 \mathbf {r_i}}{dt^2} = M \frac {d^2 \mathbf {r_{cm}}}{dt^2} = M \mathbf a = \mathbf {F_{net}}$

Nun, wenn die auf das Objekt wirkende Nettokraft ist $\mathbf 0$ Dann

M A = M \frac{D^{2} R_{C M}}{D T^{2}} = 0

$M \mathbf a= M\frac {d^2 \mathbf {r_{cm}}}{dt^2}=\mathbf 0$

Beachten Sie, dass innere Kräfte keine Beschleunigung verursachen können, da sie immer als Aktions-Reaktions-Paar auftreten.

Nick Abboud · Answer 2

Versuchen Sie Folgendes: Nehmen Sie die Definition

\vec{R_{C M}} = \frac{\sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} \vec{R_{ich}}}{\sum_{ich = 1}^{N} M_{ich}},

$\vec {r_{cm}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i \vec {r_i}}{\sum_{i=1}^{N}m_i},$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit $M$ , und differenziere die Gleichung zweimal nach der Zeit.

Alexander Issa · Answer 3

Es wurden klare Antworten gegeben, bevor ich diesen Kommentar geschrieben habe. Der wahrscheinlich einfachste Weg, die fragliche Gleichung abzuleiten, ist die Definition des Massenschwerpunkts. Diese Antworten wurden gegeben, also werde ich es hier nicht tun. Ich werde jedoch versuchen, die Frage anhand von Kräften zu beantworten, die auf ein Teilchensystem einwirken, da ich hoffe, dass dies Ihnen einen Einblick geben wird.

Betrachten Sie ein System aus n Teilchen. Ich werde die auf ein i -tes Teilchen wirkende Gesamtkraft als Summe der äußeren Kraft und der von anderen Teilchen erfahrenen Kräfte darstellen.

Deshalb:

Erzwingen {ich}^{T H} Partikel: {\vec{F}}_{ich} = {\vec{F}}_{ich}^{e X T} + \sum_{J = 1, J \neq ich}^{N} {\vec{F}}_{ich J}

$\text{Force on }i^{th}\text{partilcle:}\qquad\vec F_i=\vec F_i^{ext}+\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}$

Von Newton 3^{R D} Gesetz: {\vec{F}}_{ich J} = - {\vec{F}}_{J ich}, wobei i, j die Kraft darstellen {ich}^{T H} Partikel aufgrund J^{T H} Partikel.

$\text{By Newton's }3^{rd}\,\text {law:}\qquad\vec F_{ij}=-\vec F_{ji},\text{where i, j represent force on }i^{th}\,\text{particle due to}j^{th}\,\text{particle.}$ Somit ist die Gesamtkraft auf n Teilchen gegeben durch:

\sum_{ich = 1}^{N} {\vec{F}}_{ich} = \vec{F} = \sum_{ich = 1}^{N} {\vec{F}}_{ich}^{e X T} + \sum_{ich = 1}^{N} (\sum_{J = 1, J \neq ich}^{N} {\vec{F}}_{ich J})

$\sum_{i=1}^n\vec F_i=\vec F=\sum_{i=1}^n\vec F_i^{ext}+\sum_{i=1}^n\ \Biggl(\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}\Biggr)$

\sum_{ich = 1}^{N} (\sum_{J = 1, J \neq ich}^{N} {\vec{F}}_{ich J}) = \sum_{J = 1}^{N} (\sum_{ich = 1, ich \neq J}^{N} {\vec{F}}_{J ich}) = - \sum_{J = 1}^{N} (\sum_{ich = 1, ich \neq J}^{N} {\vec{F}}_{ich J}) = - \sum_{ich = 1}^{N} (\sum_{J = 1, J \neq ich}^{N} {\vec{F}}_{ich J})

$\sum_{i=1}^n\ \Biggl(\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}\Biggr)=\sum_{j=1}^n\ \Biggl(\sum_{i=1,i\neq j}^n \vec F_{ji}\Biggr)=-\sum_{j=1}^n\ \Biggl(\sum_{i=1,i\neq j}^n \vec F_{ij}\Biggr)=-\sum_{i=1}^n\ \Biggl(\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}\Biggr)$ Das impliziert es

\sum_{ich = 1}^{N} (\sum_{J = 1, J \neq ich}^{N} {\vec{F}}_{ich J}) = 0

$\sum_{i=1}^n\ \Biggl(\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}\Biggr)=0$

Daher ist die Gesamtkraft auf n Teilchen die Summe aller äußeren Kräfte, da sich die inneren Kräfte zwischen den Teilchen aufheben.

Wenn wir endlich Ihre Antwort zurückbekommen, wissen wir, dass: \vec{F} = M {\vec{A}}_{C}

$\text{Finally getting back your answer, we know that:}\quad\vec F=M\vec a_c\quad$ Daher:

\vec{F} = \sum_{ich = 1}^{N} {\vec{F}}_{ich}^{e X T} = \sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} {\vec{A}}_{ich} ⟹ \frac{\sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} {\vec{A}}_{ich}}{M} = {\vec{A}}_{C} wo m = \sum_{ich = 1}^{N} M_{ich}

$\vec F=\sum_{i=1}^n\vec F^{ext}_i=\sum_{i=1}^nm_i\vec a_i\implies \frac{\sum_{i=1}^nm_i\vec a_i}{M}=\vec a_c\quad \text{where M}=\sum_{i=1}^nm_i$

Die Gleichung sagt uns, dass die Summe jeder externen Kraft auf i 'th einfach als Gesamtmasse M und Beschleunigung des Massenschwerpunkts ausgedrückt werden kann. Trivialerweise gilt Newtons erstes Gesetz, wenn die Summe der externen Kräfte Null ergibt.

Newtons drittes Bewegungsgesetz, wer kann mir sagen, wie ich unten abziehen kann?

Shiyi

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Benutzer238497

Nick Abboud

Alexander Issa

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