Oberflächen-Masse-Gleichung des Schwarzen Lochs

Question

Oberflächen-Masse-Gleichung des Schwarzen Lochs

Masse
Volumen
Dichte
Physik
Schwarze Löcher
Ereignishorizont

seVenVo1d

Nehmen wir an, wir haben einen BH mit Masse $M$ und Fläche $A$ . Aus dem Schwarzschild raidus können wir sagen, dass die Fläche des BH proportional zu seiner Masse ist

A = 4 π R^{2} = \frac{16 π G^{2} M^{2}}{C^{4}}

$A=4\pi r^2=\frac {16 \pi G^2M^2} {c^4}$ oder sagen wir einfach

A (M) = a M^{2}

$A(M)=\alpha M^2$

Nehmen wir nun an, dieses Schwarze Loch gewinnt an Masse $m$ pro Sekunde. Wir können leicht erkennen, dass die gewonnene Masse proportional zur Oberfläche des Schwarzen Lochs ist. Daher können wir schreiben

M \propto A

$m\propto A$ oder

M (A) = β A

$m(A)=\beta A$ Wo

β

$\beta$ ist konstant.

Jetzt möchte ich herausfinden, dass die vom Schwarzen Loch pro Sekunde gewonnene Masse ( $M(t)=?$ ).

Lasst uns so denken $T$ Die Fläche ist

A = a M^{2}

$A=\alpha M^2$ ;

T : A = a M^{2}

$T:A=\alpha M^2$ dann gewinnt es Masse durch Menge an

d m

$dm$ und es vergrößert die Fläche um

d A

$dA$ .

Also bei

T + D T : A + D A = a (M + D M)^{2}

$T+dt:A+dA=\alpha (M+dm)^2$

Und die dabei gewonnene Masse $dt$ Zeit wird gleich sein $dm=dA\beta$ oder können wir sagen $dm=A\beta$

Bearbeiten: Lets Sache Masse $m$ um die Oberfläche des Schwarzen Lochs. Die Masse hat eine Dichte $p_m$ . Indem wir dies verwenden, können wir eine solche Gleichung schreiben. $dm=Ap_mdr$ oder $m=\int Ap_mdr=\int 4\pi r^2dr$ für $r>R$ Wo $R$ ist der Radius des Schwarzen Lochs. Ich dachte, dass die $dM/dt=m$ aber ich dachte später, dass die Einheiten nicht übereinstimmen. Aber ich kann nicht aufhören zu denken, dass die logische Antwort so lauten sollte, da die "Änderung der Masse des Schwarzen Lochs" gleich der gewonnenen Masse sein sollte, oder?

wahrscheinlich_jemand

Zunächst einmal ist das Volumen eines Schwarzen Lochs im Allgemeinen keine wohldefinierte Größe. Was Sie betrachten, ist das Volumen, das der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs aus der Perspektive eines entfernten, stationären Beobachters zu umschließen scheint. Zweite,

d M / d t

$dM/dt$ hängt von beidem ab

d V / d t

$dV/dt$ und entweder

M

$M$ oder

V

$V$ selbst. Um eine nicht triviale Antwort auf diese Frage zu erhalten, müssen Sie Ihr Problem weiter einschränken, indem Sie für beide eine Form wählen

d M / d t

$dM/dt$ oder

d V / d t

$dV/dt$ (zum Beispiel könnten Sie das verlangen

d M / d t

$dM/dt$ ist konstant oder linear steigend oder eine andere funktionale Form).

seVenVo1d

Ist es dann eine gute Näherung, die Volumengleichung zu verwenden? Sagen wir

d M / d t

$dM/dt$ steigt linear an. Ich dachte: „Wir können es herausfinden

d M / d t

$dM/dt$ indem Sie diese Gleichungen verwenden.

wahrscheinlich_jemand

Es ist keine Frage einer guten oder schlechten Annäherung, es ist nur das, was Sie genannt haben

V

$V$ hier ist nicht unbedingt das Volumen eines Schwarzen Lochs, weil das Konzept des „Volumens eines Schwarzen Lochs“ selbst nicht gut definiert ist. Sie können es natürlich so definieren, aber ich wollte Sie wissen lassen, dass Sie sich für eine Definition entscheiden

V

$V$ als das Volumen des Schwarzen Lochs, und es kann unter anderen Definitionen einen anderen Ausdruck haben. Insbesondere verhält es sich möglicherweise nicht wie die Größe, die wir normalerweise als Volumen bezeichnen.

wahrscheinlich_jemand

In jedem Fall, wenn Sie "herausfinden" möchten

d M / d t

$dM/dt$ , und Sie möchten etwas anderes als eine triviale Antwort, dann müssen Sie uns weitere Informationen mitteilen. Schließlich wird nicht jedes Schwarze Loch mit der gleichen Masse und dem gleichen Volumen gleich schnell an Masse zunehmen; einige können zum Beispiel von mehr Staub und Gas umgeben sein als andere. Um herauszufinden, wie viel Masse das Schwarze Loch gewinnt, müssen Sie wissen, mit welcher Rate sich das "Volumen" des Schwarzen Lochs ausdehnt. Also, was ist das?

AVS

Wir können leicht erkennen, dass die gewonnene Masse proportional zum Volumen des Schwarzen Lochs ist. Ich sehe das nicht. Wie gewinnt das Schwarze Loch an Masse? Es könnte viele Mechanismen geben, die zu unterschiedlichen Gleichungen führen. Zum Beispiel, wenn die Akkretionsrate dann durch die Eddington-Leuchtkraft begrenzt ist

d M / d t \sim M

$dM/dt\sim M$ .

seVenVo1d

„Um herauszufinden, wie viel Masse das Schwarze Loch zunimmt, muss man die Rate kennen, mit der sich das „Volumen“ des Schwarzen Lochs ausdehnt. Also, wie hoch ist diese Rate?“ Nehmen wir das Schwarze Loch in der Milchstraße. Kennen wir die Rate der Volumenänderung des Sag A?. Oder sollten wir davon ausgehen, dass es linear oder exponentiell usw.

seVenVo1d

„Wir können leicht erkennen, dass die gewonnene Masse proportional zum Volumen des Schwarzen Lochs sein wird, ich sehe das nicht. Wie gewinnt das Schwarze Loch an Masse? Es könnte viele Mechanismen geben, die zu unterschiedlichen Gleichungen führen. Wenn zum Beispiel die Akkretionsrate durch die Eddington-Leuchtkraft begrenzt ist, dann ist dM/dt∼M "" Ich hätte wohl sagen sollen, dass die gewonnene Masse proportional zur Oberfläche der Schwarzen Löcher ist. Ich habe einen großen Fehler gemacht, denke ich. Die Beziehung sollte ungefähr die Oberflächenmasse sein, nicht die Volumenmasse ...

sichere Sphäre

Ihre Frage lautet: " Jetzt möchte ich herausfinden, dass die vom Schwarzen Loch pro Sekunde gewonnene Masse ( $M(t)=?$ ) " Und die Antwort lautet: " Nehmen wir nun an, dieses Schwarze Loch gewinnt an Masse $m$ pro Sekunde. "

seVenVo1d

Ich suchte nach irgendeiner Funktion. Da die gewonnene Masse exponentiell zunehmen wird.

seVenVo1d

Ich habe ein bisschen mehr bearbeitet.

wahrscheinlich_jemand

@ArthurMorgan Ihre Änderungen gehen nicht wirklich auf die Probleme ein, die in den Kommentaren angesprochen wurden. Ich werde eine Antwort auf der Grundlage der verfügbaren Informationen schreiben, und vielleicht wird das die Dinge klären.

wahrscheinlich_jemand

@ArthurMorgan Außerdem verstehe ich Ihre Argumentation nicht, wenn Sie sagen, dass "die gewonnene Masse exponentiell zunehmen wird".

seVenVo1d

Nun, das habe ich nicht. Das war eigentlich das "Ding", das ich herauszufinden versuche.

wahrscheinlich_jemand

@ArthurMorgan Und was wir Ihnen gesagt haben, ist, dass Sie nicht genügend Informationen/Annahmen bereitgestellt haben, um dies zu tun.

seVenVo1d

Ja ich stimme zu, du hast recht. Tut mir leid ... ich werde darüber nachdenken und dann etwas schreiben.

Antworten (1)

Oberflächen-Masse-Gleichung des Schwarzen Lochs

Zunächst einmal ist das Volumen eines Schwarzen Lochs im Allgemeinen keine wohldefinierte Größe. Was Sie betrachten, ist das Volumen, das der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs aus der Perspektive eines entfernten, stationären Beobachters zu umschließen scheint. Zweite, $dM/dt$ hängt von beidem ab $dV/dt$ und entweder $M$ oder $V$ selbst. Um eine nicht triviale Antwort auf diese Frage zu erhalten, müssen Sie Ihr Problem weiter einschränken, indem Sie für beide eine Form wählen $dM/dt$ oder $dV/dt$ (zum Beispiel könnten Sie das verlangen $dM/dt$ ist konstant oder linear steigend oder eine andere funktionale Form).
Ist es dann eine gute Näherung, die Volumengleichung zu verwenden? Sagen wir $dM/dt$ steigt linear an. Ich dachte: „Wir können es herausfinden $dM/dt$ indem Sie diese Gleichungen verwenden.
Es ist keine Frage einer guten oder schlechten Annäherung, es ist nur das, was Sie genannt haben $V$ hier ist nicht unbedingt das Volumen eines Schwarzen Lochs, weil das Konzept des „Volumens eines Schwarzen Lochs“ selbst nicht gut definiert ist. Sie können es natürlich so definieren, aber ich wollte Sie wissen lassen, dass Sie sich für eine Definition entscheiden $V$ als das Volumen des Schwarzen Lochs, und es kann unter anderen Definitionen einen anderen Ausdruck haben. Insbesondere verhält es sich möglicherweise nicht wie die Größe, die wir normalerweise als Volumen bezeichnen.
In jedem Fall, wenn Sie "herausfinden" möchten $dM/dt$ , und Sie möchten etwas anderes als eine triviale Antwort, dann müssen Sie uns weitere Informationen mitteilen. Schließlich wird nicht jedes Schwarze Loch mit der gleichen Masse und dem gleichen Volumen gleich schnell an Masse zunehmen; einige können zum Beispiel von mehr Staub und Gas umgeben sein als andere. Um herauszufinden, wie viel Masse das Schwarze Loch gewinnt, müssen Sie wissen, mit welcher Rate sich das "Volumen" des Schwarzen Lochs ausdehnt. Also, was ist das?
Wir können leicht erkennen, dass die gewonnene Masse proportional zum Volumen des Schwarzen Lochs ist. Ich sehe das nicht. Wie gewinnt das Schwarze Loch an Masse? Es könnte viele Mechanismen geben, die zu unterschiedlichen Gleichungen führen. Zum Beispiel, wenn die Akkretionsrate dann durch die Eddington-Leuchtkraft begrenzt ist $dM/dt\sim M$ .
„Um herauszufinden, wie viel Masse das Schwarze Loch zunimmt, muss man die Rate kennen, mit der sich das „Volumen“ des Schwarzen Lochs ausdehnt. Also, wie hoch ist diese Rate?“ Nehmen wir das Schwarze Loch in der Milchstraße. Kennen wir die Rate der Volumenänderung des Sag A?. Oder sollten wir davon ausgehen, dass es linear oder exponentiell usw.
„Wir können leicht erkennen, dass die gewonnene Masse proportional zum Volumen des Schwarzen Lochs sein wird, ich sehe das nicht. Wie gewinnt das Schwarze Loch an Masse? Es könnte viele Mechanismen geben, die zu unterschiedlichen Gleichungen führen. Wenn zum Beispiel die Akkretionsrate durch die Eddington-Leuchtkraft begrenzt ist, dann ist dM/dt∼M "" Ich hätte wohl sagen sollen, dass die gewonnene Masse proportional zur Oberfläche der Schwarzen Löcher ist. Ich habe einen großen Fehler gemacht, denke ich. Die Beziehung sollte ungefähr die Oberflächenmasse sein, nicht die Volumenmasse ...
Ihre Frage lautet: " Jetzt möchte ich herausfinden, dass die vom Schwarzen Loch pro Sekunde gewonnene Masse ( $M(t)=?$ ) " Und die Antwort lautet: " Nehmen wir nun an, dieses Schwarze Loch gewinnt an Masse $m$ pro Sekunde. "
Ich suchte nach irgendeiner Funktion. Da die gewonnene Masse exponentiell zunehmen wird.
@ArthurMorgan Ihre Änderungen gehen nicht wirklich auf die Probleme ein, die in den Kommentaren angesprochen wurden. Ich werde eine Antwort auf der Grundlage der verfügbaren Informationen schreiben, und vielleicht wird das die Dinge klären.
@ArthurMorgan Außerdem verstehe ich Ihre Argumentation nicht, wenn Sie sagen, dass "die gewonnene Masse exponentiell zunehmen wird".
Nun, das habe ich nicht. Das war eigentlich das "Ding", das ich herauszufinden versuche.
@ArthurMorgan Und was wir Ihnen gesagt haben, ist, dass Sie nicht genügend Informationen/Annahmen bereitgestellt haben, um dies zu tun.
Ja ich stimme zu, du hast recht. Tut mir leid ... ich werde darüber nachdenken und dann etwas schreiben.

wahrscheinlich_jemand · Answer 1

Die Quantität $A$ ist eigentlich die Oberfläche des Ereignishorizonts des Schwarzen Lochs, wie sie von einem entfernten, stationären Beobachter aus gesehen wird; als solches verhält es sich möglicherweise nicht wie die Größe, die wir traditionell Oberfläche nennen.

Wenn wir differenzieren

A = \frac{16 π G^{2} M^{2}}{C^{4}}

$A=\frac{16\pi G^2 M^2}{c^4}$

in Bezug auf die Zeit erhalten wir

\frac{D A}{D T} = \frac{32 π G^{2} M}{C^{4}} \frac{D M}{D T}

$\frac{dA}{dt}=\frac{32\pi G^2 M}{c^4} \frac{dM}{dt}$

was uns sagt, dass die Rate, mit der die Oberfläche des Ereignishorizonts wächst, $\frac{dA}{dt}$ , ist sowohl von der aktuellen Masse abhängig $M$ des Schwarzen Lochs und die Geschwindigkeit, mit der das Schwarze Loch Masse ansammelt, $\frac{dM}{dt}$ . Wenn Sie die Geschwindigkeit kennen, mit der die Oberfläche des Ereignishorizonts wächst, und Sie die Masse des Schwarzen Lochs kennen, können Sie bestimmen, wie viel Masse das Schwarze Loch ansammelt. Wenn Sie nicht wissen, mit welcher Rate die Oberfläche des Ereignishorizonts wächst, dann kennen Sie auch nicht die Rate, mit der die Masse wächst.

Was Ihre Behauptung betrifft, dass die Rate des Massenzuwachses proportional zur Oberfläche des Ereignishorizonts ist, ist das in mehrfacher Hinsicht falsch. Um zu sehen, warum, ordnen wir die erste Gleichung neu an:

M = \frac{C^{2}}{4 G} \sqrt{\frac{A}{π}}

$M=\frac{c^2}{4G}\sqrt{\frac{A}{\pi}}$

und zeitlich differenzieren:

\frac{D M}{D T} = \frac{C^{2}}{8 G} \sqrt{\frac{1}{A π}} \frac{D A}{D T}

$\frac{dM}{dt}=\frac{c^2}{8G}\sqrt{\frac{1}{A\pi}}\frac{dA}{dt}$

Erstens sehen wir, dass Ihre Behauptung unvollständig ist; Die Rate des Massenzuwachses hängt sowohl von der Fläche des Ereignishorizonts als auch von der Wachstumsrate dieser Fläche ab, die beide nicht unbedingt konstant sind. Zweitens ist Ihre Behauptung, dass die Rate des Massenzuwachses proportional zur Fläche des Ereignishorizonts ist, falsch. Vielmehr ist es proportional zu $\frac{1}{\sqrt{A}}$ . Wenn wir sagen, dass die Rate der Massenzunahme ist $m$ und die Geschwindigkeit, mit der die Fläche wächst $a$ , dann können wir Ihre Aussage wie folgt korrigieren:

M (A, A) = β \frac{A}{\sqrt{A}}

$m(A,a)=\beta\frac{a}{\sqrt{A}}$

Wenn du wissen willst $M(t)$ , aber all das hilft dir nicht wirklich weiter. Alles, was Sie finden müssen $M(t)$ Ist $A(t)$ . Stecker $A(t)$ in die erste Gleichung und Sie haben $M(t)$ .

Ich finde auch noch was. Ich würde gerne teilen. Soll ich meinen Beitrag dafür editieren?
@ArthurMorgan Ich habe keine Ahnung, was Sie fragen wollen. Vielleicht wäre es klarer, eine andere, separate Frage zu stellen.
Der erste Absatz sagt $A$ ist der Bereich "von einem entfernten, stationären Beobachter aus gesehen". Es ist eigentlich der objektiv korrekte, physische, metrische Bereich des Horizonts, kein scheinbarer Bereich, der von irgendjemandem besonders gesehen wird. Es hängt nicht einmal von Ihrer Wahl der räumlichen Schnitte ab, ob sich das Loch beruhigt hat und nicht wächst. (Ereignishorizonte kontrahieren Lorentz nicht.)

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