Optimaler Punkt in LEO, um eine interplanetare Injektionsverbrennung durchzuführen

Question

Optimaler Punkt in LEO, um eine interplanetare Injektionsverbrennung durchzuführen

Boris Brodsky

Ich habe ein Simulationsprogramm in Python geschrieben, um Bahnen Erde <-> Mars zu berechnen. Jetzt möchte ich es gegen bekannte Trajektorien testen. Ich habe den NASA Ames Research Center Trajectory Browser verwendet , um die folgende Flugbahn zu erhalten:

SPK-ID: 499
Name: Mars
Abreise: 03.08.2020
Anreise: 27.02.2021
Dauer: 208 Tage
Einspritzung C3 (km2/s2): 14,7
Abs DLA: 4°
Einspritz-ΔV (km/s): 3,87

Um die Simulation zu starten, bringe ich mein Raumschiff in 200 km LEO mit V = 7,784 und addiere 3,87 km / s (der Einfachheit halber "sofortiges" progrades Brennen) zur Geschwindigkeit, um in die Transmars-Umlaufbahn zu gelangen.

Meine Frage: An welcher genauen Position im LEO soll ich den Burn starten?

Nehmen wir den am weitesten von der Sonne entfernten LEO-Punkt als Winkel 0° (auch der dunkle Punkt). Wenn ich dann die LEO-Flugbahn zurückgehe, in welchem Winkel sollte ich mit dem Brennen beginnen?

Ich habe einen Optimierer für diese Frage ausgeführt und bin auf 79° gekommen. Demnach (auf LEO) sollte ich die Motoren Sekunden nach dem Übergang von Tag zu Nacht starten. Sehr merkwürdig für mich.

BEARBEITEN (1):

Jupyter Notebook - (Alpha-Version) meiner Simulation ist jetzt auf GitHub veröffentlicht

Öffnen Sie in Google Colab, um mit der Simulation und dem ODE-Solver zu spielen
Überspringen Sie alle Testabschnitte und lange Codefragmente
Suchen Sie im Code nach Texterklärungen und Kommentaren
Erstellen Sie Issues oder Pull-Requests auf GitHub
Aktuelle Version der Datei: neueste Version im Hauptzweig

BEARBEITEN (2):

Durch Maximieren des Apogäums, das nur den angle0Parameter optimiert, habe ich 60.2369041443° erhalten .

Ausgabe des Optimierers:

final_simplex: (array([[-60.2369041443],
       [-60.2369041443]]), array([-2.413841476e+08, -2.413841476e+08]))
           fun: -241384147.60416117
       message: 'Optimization terminated successfully.'
          nfev: 139
           nit: 57
        status: 0
       success: True
             x: array([-60.2369041443])

Quellcode: Notebook auf GitHub

notovny

Das scheint eigentlich richtig zu sein. Der Mars ist der Erde so nahe, dass die Delta-V-Anforderungen in LEO nicht so weit über den Delta-V-Anforderungen für die Fluchtgeschwindigkeit liegen, sodass Ihre Abflugbahn eine Hyperbel mit relativ geringer Exzentrizität wäre. Bei einer parabolischen Flugbahn (genau Fluchtgeschwindigkeit), die in Richtung der Bewegung der Erde um die Sonne abgeht, würden Sie bei 90 ° abreisen.

Boris Brodsky

@notovny Tolle Neuigkeiten! Das bedeutet, dass meine Simulation funktioniert. Ich plane, es später öffentlich zu machen. Es ist ein Jupyter-Notebook. Würden Sie Ihren Kommentar als Antwort posten, damit ich ihn akzeptieren kann?

notovny

Leider kann ich nur sagen, dass es in etwa richtig aussieht . Ich arbeite mich durch die Orbitalgleichungen, und es könnte das Wochenende dauern, bis ich Zeit habe, eine vollständige Antwort zu schreiben.

Diego Sanchez

Wenn Sie zum Mars gehen, müssen Sie Ihre Apoapsis relativ zur Sonne anheben, und dies zu tun, indem Sie hauptsächlich in Richtung der Sonne brennen, scheint seltsam. Das Brennen bei Ihrem 0 ° wäre relativ zur Sonne prograd, was für mich irgendwie sinnvoller ist. Aber das ist nur mein Instinkt und die Orbitalmechanik widersetzt sich immer der Intuition.

Boris Brodsky

@notovny Ich hatte nicht vor, von Ihnen eine solche Anstrengung zu verlangen. Das "sieht ungefähr richtig aus" ist genau die Antwort, auf die ich gehofft hatte. Meine Intuition war, dass es ungefähr 0° sein sollte, also dachte ich, meine Simulation hat einen Fehler. Die theoretische Seite wäre großartig, war aber mit der Frage nicht beabsichtigt. Soll ich meine Frage umformulieren, um Ihre Antwort "sieht ungefähr richtig aus" besser zu beantworten?

Diego Sanchez

Könntest du ein paar Details dazu hinzufügen, wie du diese 79° erreicht hast?

Boris Brodsky

@DiegoSánchez hat der Frage einen Link zu meiner Simulation hinzugefügt

Boris Brodsky

@notovny Vielleicht findest du meine Simulation auch interessant. Überprüfen Sie den EDIT-Abschnitt meiner Frage mit dem Link zum Jupyter-Notebook auf GitHub und Google Colab.

Antworten (1)

Optimaler Punkt in LEO, um eine interplanetare Injektionsverbrennung durchzuführen

Das scheint eigentlich richtig zu sein. Der Mars ist der Erde so nahe, dass die Delta-V-Anforderungen in LEO nicht so weit über den Delta-V-Anforderungen für die Fluchtgeschwindigkeit liegen, sodass Ihre Abflugbahn eine Hyperbel mit relativ geringer Exzentrizität wäre. Bei einer parabolischen Flugbahn (genau Fluchtgeschwindigkeit), die in Richtung der Bewegung der Erde um die Sonne abgeht, würden Sie bei 90 ° abreisen.
@notovny Tolle Neuigkeiten! Das bedeutet, dass meine Simulation funktioniert. Ich plane, es später öffentlich zu machen. Es ist ein Jupyter-Notebook. Würden Sie Ihren Kommentar als Antwort posten, damit ich ihn akzeptieren kann?
Leider kann ich nur sagen, dass es in etwa richtig aussieht . Ich arbeite mich durch die Orbitalgleichungen, und es könnte das Wochenende dauern, bis ich Zeit habe, eine vollständige Antwort zu schreiben.
Wenn Sie zum Mars gehen, müssen Sie Ihre Apoapsis relativ zur Sonne anheben, und dies zu tun, indem Sie hauptsächlich in Richtung der Sonne brennen, scheint seltsam. Das Brennen bei Ihrem 0 ° wäre relativ zur Sonne prograd, was für mich irgendwie sinnvoller ist. Aber das ist nur mein Instinkt und die Orbitalmechanik widersetzt sich immer der Intuition.
@notovny Ich hatte nicht vor, von Ihnen eine solche Anstrengung zu verlangen. Das "sieht ungefähr richtig aus" ist genau die Antwort, auf die ich gehofft hatte. Meine Intuition war, dass es ungefähr 0° sein sollte, also dachte ich, meine Simulation hat einen Fehler. Die theoretische Seite wäre großartig, war aber mit der Frage nicht beabsichtigt. Soll ich meine Frage umformulieren, um Ihre Antwort "sieht ungefähr richtig aus" besser zu beantworten?
Könntest du ein paar Details dazu hinzufügen, wie du diese 79° erreicht hast?
@DiegoSánchez hat der Frage einen Link zu meiner Simulation hinzugefügt
@notovny Vielleicht findest du meine Simulation auch interessant. Überprüfen Sie den EDIT-Abschnitt meiner Frage mit dem Link zum Jupyter-Notebook auf GitHub und Google Colab.

notovny · Answer 1

Basierend auf den folgenden Berechnungen beträgt der Abgangsbrennwinkel etwa 53,5°

Ich gehe von folgenden Annahmen aus:

Das Raumschiff wird die Erde verlassen und sich in Richtung der Erdreise bewegen, um den größtmöglichen Nutzen aus dem Weg der Erde um die Sonne zu ziehen.

Mit den folgenden Parametern.

Standardgravitationsparameter der Erde : $\mu_E= 3.97\times10^{14} \mathrm{m^3/s^2}$
Radius der Erde $r_E=6.380\times10^6\mathrm{m}$
Gewünschter LEO-Orbitalradius $r_0=6.580\times10^6\mathrm{m}$
Einspritzung Delta-V $\Delta v= 3.87 \times 10^3 \mathrm{m/s}$

Wir können dann die Kreisbahngeschwindigkeit auf der LEO-Umlaufbahn berechnen $v_{circ}$ :

v_{C ich R C} = \sqrt{\frac{μ_{E}}{R_{0}}} = 7.77 \times 10^{3} M / S

$v_{circ}=\sqrt{\frac{\mu_E}{r_0}}=7.77\times10^3\mathrm{m/s}$

Abfluggeschwindigkeit zum Zeitpunkt der Verbrennung $v_0$ :

v_{0} = v_{C ich R C} + Δ v = 1.16 \times 10^{4} M / S

$v_0=v_{circ}+\Delta v = 1.16 \times 10^4 \mathrm{m/s}$

Von dort aus können wir die spezifische Orbitalenergie der Abfahrtshyperbel berechnen $\epsilon$ :

ϵ = \frac{v_{0}^{2}}{R_{0}} - \frac{μ_{E}}{R_{0}} = 7.38 \times 10^{6} J / k G

$\epsilon=\frac{v_0^2}{r_0} - \frac{\mu_E}{r_0}=7.38 \times10^6\mathrm{J/kg}$

Und die hyperbolische große Halbachse , die wir später in der Polargleichung für die Abflugbahn verwenden werden:

A = - \frac{μ_{E}}{2 ϵ} = - 2.69 \times 10^{7} M

$a=-\frac{\mu_E}{2\epsilon}=-2.69 \times 10^7\mathrm{m}$

Der spezifische relative Drehimpuls ist das Kreuzprodukt des radialen Vektors und des Geschwindigkeitsvektors. Wir brauchen nur die Größe dieses Vektors, $h$ Da beim Abflug der radiale Abstandsvektor senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor steht, können wir einfach den radialen Abflugabstand und die Abfluggeschwindigkeit multiplizieren.

H = “ \vec{R_{0}} \times \vec{v_{0}} “ = R_{0} v_{0} Sünde θ = R_{0} v_{0} = 7.66 \times 10^{10} M^{2} / S

$h= \|\overrightarrow{r_0}\times\overrightarrow{v_0}\|= r_0v_0\sin\theta=r_0v_0=7.66\times10^{10}\mathrm{m^2/s}$

Und damit können wir die orbitale Exzentrizität berechnen $e$ :

e = \sqrt{1 + \frac{2 ϵ H^{2}}{μ_{E}^{2}}} = 1.24

$e=\sqrt{1+\frac{2\epsilon h^2}{\mu_E^2}}=1.24$

Das ist ein bisschen höher als meine Intuition angenommen hat, als ich ursprünglich kommentierte.

Mit der orbitalen Exzentrizität können wir die Hyperbolic Trajectory-Gleichungen von Wikipedia verwenden, um den Winkel zwischen den Asymptoten und der konjugierten Achse zu erhalten, die ich nennen werde $\theta_0$ , unten im Bogenmaß und dann in Grad aufgeführt.

θ_{0} = \frac{2 \arcsin (1 / e) - π}{2} = - 1.27 = - {36.5}^{\circ}

$\theta_0= \frac{2\arcsin(1/e) - \pi}{2} = -1.27 = -36.5^\circ$

Unter Verwendung der Standard-Polargleichung für eine Hyperbel dieser Winkel $\theta_0$ ist der Winkel, um den wir ihn drehen müssten, um eine Asymptote parallel zur X-Achse zu platzieren, wobei die folgende Gleichung verwendet wird.

R = \frac{A (1 - e^{2})}{1 - e \cos (θ + θ_{0})}

$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos(\theta+\theta_0)}$

Mit den obigen Parametern wird das untenstehende Diagramm erzeugt. (Ich denke, ich muss wahrscheinlich einen besseren Online-Grafikrechner als Desmos finden; er ist nicht sehr gut im Exportieren von Bildern. Klicken Sie auf den Link, um eine bequemere Ansicht zu erhalten.)

Desmos-Grafik: Hyperbolische Abflugbahn eines Raumfahrzeugs, das von einer 200 km langen Parkbahn mit a abfährt $\Delta v$ von 3,87 km/s

Die Zahlen in der Grafik sind in Metern angegeben.
Die Sonne steht in Richtung der positiven Y-Achse.
Die Richtung der Erdbewegung um die Sonne und die Abgangsasymptote liegen in Richtung der positiven X-Achse.
Der blaue Kreis ist die Erde. Die rot gepunktete Linie ist die 200 km lange LEO-Parkbahn.
Die gepunktete schwarze Linie zeigt den Abbrennpunkt an und ist entlang der Hauptachse der Hyperbel gezogen

Und um den von Boris gewünschten Winkel zwischen der negativen Y-Achse und der Hauptachse der Hyperbel in Bogenmaß und Grad zu erhalten:

ϕ_{B u R N} = \frac{π}{2} + θ_{0} = 0,93 = {53.5}^{\circ}

$\phi_{burn}=\frac{\pi}{2}+\theta_0 = 0.93 = 53.5^\circ$

Erstaunliche Antwort! Was ich wirklich gerne wissen würde, ist, woher die Diskrepanz zwischen 53,5 ° und 60,2 ° kommt und was mit meiner Simulation falsch ist ... :)
In meiner Simulation verändere ich den Winkel, der das Apogäum der resultierenden Umlaufbahn um die Sonne maximiert. Soll ich die von Ihnen vorhergesagten 53,5° bekommen?

Optimaler Punkt in LEO, um eine interplanetare Injektionsverbrennung durchzuführen

Boris Brodsky

notovny

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notovny

Basierend auf den folgenden Berechnungen beträgt der Abgangsbrennwinkel etwa 53,5°

Desmos-Grafik: Hyperbolische Abflugbahn eines Raumfahrzeugs, das von einer 200 km langen Parkbahn mit a abfährt $\Delta v$ von 3,87 km/s

Boris Brodsky

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Mögliche Idee für eine Simulation in der Orbitalmechanik mit Daten aus dem JPL [geschlossen]

Was ist die charakteristische Zeit zum Erreichen einer hyperbolischen Übergeschwindigkeit innerhalb eines Einflussbereichs?