Wie modelliert man hyperbolische Bahnen?

Ja. (Es klingt, als hätten Sie es mit einem Zwei-Körper-Problem zu tun, das analytische Lösungen hat.)

Zunächst einmal, angesichts der Position,$\vec{r}$, die Geschwindigkeit,$\vec{v}$, sowohl in einem Koordinatensystem mit dem Zentralkörper im Ruhezustand als auch dem GM des Zentralkörpers,$\mu$, können Sie leicht die spezifische Energie (Energie pro Masseneinheit) berechnen, die Ihnen sagt, ob die Flugbahn elliptisch (negative Energie) oder hyperbolisch (positive Energie) ist. Oder vielleicht parabolisch (genau Nullenergie), was aber nur von mathematischem Interesse ist. Aus der Energie können Sie die große Halbachse erhalten,$a$. Hier$v=|\vec{v}|$und$r=|\vec{r}|$:

$$\mathcal{E}={v^2\over 2}-{\mu\over r}$$

$$a={\mu\over 2\mathcal{E}}$$

Sie propagieren wahrscheinlich elliptische Bahnen mit Sinus und Cosinus. Eine hyperbolische Trajektorie wird auf ähnliche Weise mit hyperbolischen Sinus und hyperbolischen Cosinus durchgeführt. Sie können den spezifischen Drehimpuls nur aus Position und Geschwindigkeit berechnen und daraus die Exzentrizität erhalten,$e$.

$$\vec{\mathcal{M}}=\vec{r}\times\vec{v}$$

$$e=\sqrt{1+{\vec{\mathcal{M}}\cdot\vec{\mathcal{M}}\over\mu a}}$$

Dann eine einfache Form der Flugbahn in der$xy$Ebene, mit engster Annäherung an die$+x$Achse ist:

$$x=a\left(e-\cosh\tau\right)$$ $$y=a\sqrt{e^2-1}\sinh\tau$$

wo$\tau$ist die exzentrische Anomalie, bezogen auf die Zeit, wo$\tau=0$und$t=0$ist am nächsten:

$$t=\sqrt{a^3\over\mu}\left(e\sinh\tau-\tau\right)$$