Parität auf Gammamatrizen

Ich möchte klar verstehen, warum P γ μ P = γ μ , Wo P ist der Paritätsoperator.

Dieses Ergebnis folgt zum Beispiel aus pag. 66 von Peskin-Schröder. Der Paritätsoperator wirkt folgendermaßen auf Dirac-Felder: P ψ ( T , X ) P = γ 0 ψ ( T , − X ) , unter der Annahme, dass keine anderen Phasenfaktoren vorhanden sind. Auf dem Dirac bilinear ψ ¯ γ μ ψ ( T , X ) , mit der Tatsache, dass P 2 = 1 , du hast P ψ ¯ γ μ ψ ( T , X ) P = P ψ ¯ P P γ μ P P ψ ( T , X ) P = ψ ¯ γ 0 P γ μ P γ 0 ψ ( T , − X ) = ψ ¯ γ 0 γ μ γ 0 ψ ( T , − X ) = ( − 1 ) μ ψ ¯ γ μ ψ ( T , − X )

Mit ( − 1 ) μ = 1 Wenn μ = 0 Und ( − 1 ) μ = − 1 Wenn μ = 1 , 2 , 3 . So P γ μ P = γ μ folgt weil P Und γ μ auf verschiedenen Räumen agieren? Oder gibt es andere Erklärungen? (Bitte führen Sie alle Schritte in der Antwort aus)

Um es klar zu sagen: Ich benutze γ 0 = ( 0 1 1 0 ) Und γ ich = ( 0 σ ich − σ ich 0 ) .

Du musst die Logik umkehren. v μ = ψ ( T , X ) γ μ ψ ( T , X ) ist ein Lorentz-Vektor. Per Definition des Paritätsoperators haben Sie P v μ P = ( − 1 ) μ v ' μ ; mit v ' μ = ψ ( T , − X ) γ μ ψ ( T , − X ) . Dazu müssen die Gleichheiten, die Sie in Ihrer Frage geschrieben haben, vorhanden sein P γ μ P = γ μ

Antworten (1)

Eine der Möglichkeiten, dieses Ergebnis zu erhalten, ist die triviale Konsequenz, dass der Paritätsoperator das Vorzeichen der ganzzahligen Werte von 3-Impuls und Strom ändern muss, während er invariante volle Energie- und Ladungswerte belässt. Zum Beispiel haben wir für die Energiedichte mit Ψ ' = P ^ Ψ ( P ^ = U ^ P X → − X ) folgendes Ergebnis:

E → E ' = Ψ ' † ( − X , T ) ( ( P ^ ⋅ a ^ ) + γ 0 M ) Ψ ' ( − X , T ) =
= Ψ † ( X , T ) P ^ † ( ( P ^ ⋅ a ^ ) + γ 0 M ) P ^ Ψ ( X , T ) =
= Ψ † ( X , T ) ( − ( P ^ ⋅ P ^ + a ^ P ^ ) + P ^ † γ 0 P ^ M ) Ψ ( X , T ) =
= Ψ † ( X , T ) ( ( P ^ ⋅ a ^ ) + γ 0 M ) Ψ ( X , T ) ⇒
U ^ † a ^ U ^ = − a ^ , U ^ † γ 0 U ^ = γ 0 ⇒ U ^ † γ μ U ^ = γ μ , ( 1 )

Ihre Gleichstellung ist also nur in einer Form möglich ( 1 ) ( P ^ † formal zusammenfallen P ^ ).

In die erste Zeile schreibe ich den Ausdruck für die Energiedichte nach Transformation der Zustandsfunktion ( Ψ → Ψ ' ). Im zweiten habe ich die Ausdrücke verwendet Ψ ' = P ^ Ψ , Ψ ' + = Ψ + P ^ + ; im dritten bin ich umgezogen P ^ † richtig und P ^ links auf ( P ^ † wirkt auf P ^ indem ich nur sein Vorzeichen ändere) und danach habe ich bilineare Formen P ^ + a ^ P ^ , P ^ + γ 0 P ^ . Schließlich habe ich dieses Ergebnis mit der Energie ohne Inversion gleichgesetzt, weil sich Energie (von ihrer physikalischen Bedeutung her) unter räumlicher Inversion nicht ändert und ich habe ( 2 ) durch Gleichsetzen entsprechender Ausdrücke aus der letzten Zeile und aus der vorherigen: − ( P ^ ⋅ P ^ + a ^ P ^ ) Zu ( P ^ ⋅ a ^ ) usw.

Die letzte Konsequenz kann auf folgende Weise erhalten werden:

U ^ † γ 0 U ^ = γ 0 ⇒ U ^ † a ^ U ^ = U ^ † γ 0 γ U ^ = γ 0 U ^ † γ U ^ = − γ 0 γ ⇒
U ^ † γ 0 U ^ = γ 0 , U ^ † γ U ^ = − γ .

Können Sie alle Schritte im Detail ausführen? Außerdem verstehe ich die letzte Zeile nicht.
@Rexcirus: Ich habe meine Antwort korrigiert.
Danke für die Bearbeitung. Wie auch immer, warum im ersten Schritt ist P und nicht − P ? Warum haben sich nur die Spinoren geändert? Wenn − P ist dann richtig U a U = a und schlussendlich U γ μ U = γ μ . Aufgrund des Arguments der Dirac-Bilinearität erwarte ich, dass diese Formel gültig ist und nicht die mit γ μ auf der rechten Seite.
@Rexcirus: Nehmen wir Ihre Version an. Sie haben das für die Dichte eines Operators geschrieben Ψ † A ^ Ψ es muss gleichzeitig Ersetzungen geben A ^ → A ^ ' = P ^ A ^ P ^ † Und Ψ → Ψ ' = P ^ Ψ , Ψ † → Ψ † ' = Ψ † P ^ † . Aber nach diesen Ersetzungen bleibt die Dichte unverändert.
Es muss eine von zwei Transformationen geben: 1) Sie transformieren die Zustandsfunktionen Ψ (Also der Wert Ψ † A ^ Ψ bezieht sich auf die Dichte von A ^ im NEUEN System, das durch gegeben ist Ψ ' ) und 2) transformieren Sie den Operator A ^ Ausdruck.
Parität auf Gammamatrizen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v