Pendel bewegt sich schneller als Lichtgeschwindigkeit

In der klassischen Mechanik ist die Periode T eines Pendels ist gegeben durch

T = 2 π l G ,
Wo G ist das Gravitationsfeld und l die Länge des Seils, mit dem der Bob am Drehpunkt befestigt ist. Die Formel gilt nur für kleine Winkel, ich weiß. Aber ignorieren wir das erstmal.

Da hängt der Zeitraum nur davon ab l , stellt sich seine Geschwindigkeit so ein, dass er die Amplitude abdecken kann A (angenommen als die gesamte Lichtbogenlänge, die in einem Zyklus zurückgelegt wird) in T . Mit anderen Worten, wo immer das Pendel fällt, die Geschwindigkeit v wird so sein

∫ 0 T v ( T ) D T = A .

Nun : sicher finde ich eine l und ein A so dass die Geschwindigkeit des Pendels bei einigen T , ist größer als C , die Lichtgeschwindigkeit.

Ich denke, die Lösung für dieses „Paradoxon“ ist, dass wir uns nur mit klassischer Mechanik befassen. Aber wie würden wir weiter vorgehen, um die vollständige, relativistische Lösung aufzustellen?

Verwenden Sie den relativistischen Lagrangeoperator
Sie möchten die Tatsache ignorieren, dass Sie eine Annäherung in einer bereits angenäherten Theorie (klassische Mechanik) verwenden ...
@ Phoenix87 Wie finde ich den Punkt aber?

Antworten (3)

Nehmen Sie der Einfachheit halber kleine Schwingungen und eine punktförmige Masse an. Der relativistische Lagrange für den 1-dimensionalen Fall ist

L = − M C 2 γ − 1 2 k X 2 .
Die Bewegungsgleichung ergibt sich zu
X ¨ + 1 3 1 C 2 − X ˙ 2 D D T X ˙ 3 + ω 2 γ X = 0 ,
Wo ω 2 = k M . Ich habe nicht wirklich versucht, dies zu lösen (ich bin nicht einmal sicher, ob dies analytisch gelöst werden kann), aber man kann eine Interpretation der beteiligten Begriffe geben. Die erste zusammen mit der dritten erinnert an die klassische harmonische Bewegung, nur hängt jetzt die Frequenz, also die Periode, von der Durchlaufgeschwindigkeit ab γ . Der mittlere Term kann als Dämpfungsterm interpretiert werden. Wenn sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit nähert, divergiert dieser Dämpfungsterm, und wir können dies aufgrund des Postulats verstehen, dass sich ein massiver Körper nicht mit Lichtgeschwindigkeit oder schneller bewegen kann. Der nichtrelativistische Grenzwert wird durch Anforderung erreicht | X ˙ | ≪ C , womit der Dämpfungsterm vernachlässigbar wird, γ ≈ 1 und daher reduziert sich die Gleichung auf
X ¨ + ω 2 X = 0 ,
dh die klassische SHM.

Die beiden Grundstücke auf Wolfram Alpha mit C = ω = 1 sind die eines ruhenden Pendels mit einer Auslenkung um 1 aus dem Gleichgewicht bzw. die eines Pendels im Gleichgewicht mit der Anfangsgeschwindigkeit des Lichts. Im ersteren Fall treten Schwingungen auf, während im letzteren die Bewegung von konstanter Geschwindigkeit ist ( X ˙ ( T ) = 1 jederzeit T ) wie erwartet.

Ich bin mir nicht sicher, ob die Annäherung an kleine Schwingungen hier funktioniert, denn eine hohe Geschwindigkeit bedeutet einen hohen Impuls, ihr Winkel wird dann natürlich größer, die Annäherung wird wahrscheinlich brechen.
Was ist, wenn das Pendel sehr lang ist?
Ich verstehe jetzt Ihren Punkt, aber da gibt es keinen starren Körper. Ich denke, eine bessere und interessantere Frage ist, was passiert, wenn wir dasselbe Experiment mit Optik anstelle eines Pendels durchführen.
Wie wäre es mit einer masselosen Feder?
Ich persönlich bezweifle, dass es eine gute Näherung dafür ist, dass eine sehr lange Feder masselos ist.
Eine Feder müsste nicht lang sein, nur einen ziemlich großen Koeffizienten haben.
Ups, Entschuldigung für mein schlechtes Englisch, ich dachte, du sagst String.
Ich verstehe dein Argument. Was für ein Experiment können wir für eine so schnelle kleine Schwingung durchführen? (Frühling wahrscheinlich nicht)
Das einzige ernsthafte Problem, das ich dabei sehe und das von der obigen Lagrange-Funktion nicht berücksichtigt wird, ist, dass die Ausbreitung der Kraft von der Feder sagen wir, egal wie groß sie ist, nicht mehr vernachlässigbar ist wie in der klassischen Mechanik, wenn die Geschwindigkeit von die bewegte Masse ist vergleichbar mit C (und darüber muss man sich wahrscheinlich Sorgen machen, selbst wenn die Geschwindigkeit mit der Schallausbreitung im Federmaterial vergleichbar ist).
Irgendwo ist dir hier ein Rechenfehler unterlaufen. Franklin deckt die ab k X 2 Potenzial in seinem GR-Lehrbuch und seinem EOM sehen nicht wie Ihres aus.
Hat es eine X ˙ X ¨ Begriff vielleicht?
Danke, dass Sie in einem zweiten Gedanken erklärt haben, wie gut eine Annäherung wirklich vom Ergebnis abhängt.
  • So etwas wie einen starren Körper gibt es weder in der realen Welt noch in der speziellen Relativitätstheorie. Daher ist ein sehr großes Pendel unmöglich.
  • Für eine Saite, die den Impuls des Pendels hat, ist eine kleine Schwingung unmöglich.
  • Für sehr große Strings, hängt davon ab, wie groß sie sind, die spezielle Relativitätstheorie ist in einem kleinen Maßstab definiert, in einem sehr großen Maßstab (~Rand des beobachtbaren Universums) ist sie nicht gut definiert, man sollte sich nicht wundern, selbst wenn sie schneller ist als Lichtgeschwindigkeit.

Um es zusammenzufassen: In einem schönen Maßstab (sehr grob von der Größe eines Atoms bis zur Galaxie, ich bin mir nicht ganz sicher) ist Ihr Argument schneller als Licht nicht haltbar, da es keine stichhaltigen Gründe gibt, um den Zeitraum zu unterstützen T ∝ l 1 2

1.) Selbst wenn es an einer Schnur hängt, dann wird es sicherlich auch ganz anders aussehen, da hohe Geschwindigkeit viel Impuls bedeutet, dann muss die Bewegung mit einem größeren Winkel kommen, daher bricht die Kleinwinkelnäherung zusammen.

2.) Eine Möglichkeit, es "logisch" zu lösen, besteht jedoch darin, das anzunehmen l wird kürzer, wenn es schwingt, aber ich persönlich sehe keinen praktikablen Weg, es experimentell zu testen (vielleicht müssen Sie die e-Optik machen, wenn Sie damit experimentieren wollen).

3.) Ich persönlich finde es interessanter zu fragen, was passiert, wenn wir mit einem Lichtstrahl statt mit einem Pendel experimentieren.

Es gibt zwei wichtige Gründe, warum dies unmöglich ist. Zum einen ist es unpraktisch. Die Schwerkraft müsste so extrem sein, dass das Material des Seils brechen würde, oder die Länge müsste so lang sein, dass es mit zunehmender Entfernung einer immer schwächeren Schwerkraft ausgesetzt ist.

Selbst wenn Sie ein unzerbrechliches Seil und eine enorme Masse in unmittelbarer Nähe hätten, die das Pendel mit seiner Schwerkraft nicht zerstört, gibt es immer noch ein Problem. Die Masse am Ende der Schnur würde sich niemals schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Es würde der Lichtgeschwindigkeit immer näher kommen, wenn Sie seine Bewegung beobachten. Aber anstatt mit der Geschwindigkeit zu beschleunigen, die Sie erwarten würden, beginnt stattdessen seine Masse zu wachsen, und die Beschleunigung dieser Masse lässt ihn nur ein wenig schneller werden. In der Tat, wenn es sich der Lichtgeschwindigkeit nähert, geht seine Masse ins Unendliche.

Pendel bewegt sich schneller als Lichtgeschwindigkeit
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