Wie genau postuliert "die klassische Physik ist kontinuierlich" "Raumzeit ist eine Menge mit einer bestimmten Topologie"?

Was folgt, ist eine sehr grobe Skizze, von der ich hoffe, dass sie helfen kann. Siehe das Ende für einige Hinweise.

Der Trick dabei ist, dass Sie, wie Sie sagen, zum Definieren kontinuierlicher Karten zwei Sätze mit Topologien benötigen. Und wir wählen dann eine dieser Mengen als eine Menge aus, die wir sehr gut verstehen, mit einer Topologie, die wir sehr gut verstehen: die Menge$\mathbb{R}^n$mit der üblichen Topologie.

Die übliche Topologie auf$\mathbb{R}^n$

Am einfachsten definiert man die gewohnte Topologie weiter$\mathbb{R}^n$ist, es rückwärts zu machen:

1. für alle$x = (x_1,\ldots,x_n), y = (y_1,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n$definieren$d(x,y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2}$-- dies ist die normale euklidische Abstandsfunktion;
2. für jeden Punkt$p\in\mathbb{R}^n$, definieren eine offene Umgebung mit Radius$r > 0$aus$p$als$N_r(p) = \left\{q\in\mathbb{R}^n: d(p,q) < r\right\}$
3. Definieren Sie nun die offenen Mengen der Topologie als$\emptyset$, all die$N_r(p)$für alle$p$, ihre Vereinigungen & endliche Schnittmengen und$\mathbb{R}^n$selbst.

Es ist ziemlich einfach zu zeigen, dass dies:

• ist eine Topologie;
• ist die, die Sie erwarten würden$\mathbb{R}$($d$-Nachbarschaften sind nur offene Intervalle);
• ist nicht sehr empfindlich auf die Details von$d$-- die Topologie ist nicht von der speziellen Abstandsfunktion abhängig und viele Abstandsfunktionen ergeben dieselbe Topologie.

Es ist auch möglich zu zeigen, dass für diese Topologie die topologische Definition der Kontinuität genau dieselbe ist wie die traditionelle$\epsilon$-$\delta$eins. Also die kontinuierlichen Abbildungen, die diese Topologie zwischen, sagen wir, verwenden$\mathbb{R}$Und$\mathbb{R}$sind genau das, was wir uns erhoffen würden, und all unsere Intuitionen darüber, was es bedeutet, dass Funktionen auf den Realen kontinuierliche Arbeit sind.

Topologische Mannigfaltigkeiten

Der Trick besteht also darin, dass wir eine topologische Mannigfaltigkeit als Menge definieren$M$mit einer Topologie und der Anforderung, dass jeder Punkt von$M$hat eine offene Nachbarschaft, die eine kontinuierliche 1-1-Abbildung auf eine offene Nachbarschaft von hat$\mathbb{R}^n$.

Solange verwenden wir die übliche Topologie weiter$\mathbb{R}^n$das bedeutet das wirklich$M$ist 'lokal wie'$\mathbb{R}^n$mit der üblichen Topologie. Und das wiederum bedeutet, dass auch unsere Intuitionen über stetige Funktionen auf den reellen Zahlen einfließen$M$, zumindest lokal.

Beachten Sie, dass es nicht erforderlich ist, dass es eine einzelne, globale, kontinuierliche 1-1-Karte dazwischen gibt$M$Und$\mathbb{R}^n$, und es gibt oft keine (zum Beispiel hat die 2-Sphäre keine solche einzelne Karte). Aber dank der Natur offener Mengen in der üblichen Topologie werden die Karten mit Überlappungen enden (oder es ist möglich, sie so zu definieren, dass es immer Überlappungen gibt, indem sie auf offensichtliche Weise verschoben werden).

Ein Beispiel: der Einheitskreis

Dies ist ein einfaches Beispiel, bei dem Sie sich leicht vorstellen können, was vor sich geht. Der Einheitskreis, den ich nenne$S$, Ist$S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \sqrt{x^2 + y^2} = 1\}$. Dies ist eine eindimensionale Mannigfaltigkeit, daher möchte sie abgebildet werden auf (offene Mengen von)$\mathbb{R}$.

Der erste offensichtliche Trick ist, das zu sagen$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta), \theta\in\mathbb{R}$. Dies macht es einfach, über die gewünschte Topologie zu sprechen$S$: es ist nur die übliche Topologie auf$\mathbb{R}$: für einige$\theta_0$die Nachbarschaften davon sind$(\theta_0 - \epsilon, \theta_0 + \epsilon), \epsilon > 0, \epsilon < 2\pi$. Hinweis Ich verwende jetzt$(a,b)$meinen$\{x: x > a, x < b\}$& ähnlich für$[a,b]$,$(a, b]$& so weiter, anstatt ein Tupel zu bedeuten, und beachten Sie auch die$\epsilon < 2\pi$Bedingung, die uns vermeidet, herumzuschleifen$S$.

Also brauchen wir jetzt einige 1-1 kontinuierliche Abbildungen dazwischen$S$& offene Teilmengen von$\mathbb{R}$. Es ist verlockend, nur einen auszuwählen,$m(\theta) = \theta$. Dies ist kontinuierlich, aber es ist nicht 1-1, weil$\theta + 2n\pi, n\in\mathbb{N}$ist der gleiche Punkt wie$\theta$. Nun, wir könnten die Reichweite einschränken$\theta$sein$(0, 2\pi)$aber dieses Intervall beinhaltet nicht$0$und so nicht das Ganze abbilden$S$. Wir können das Ganze abbilden$S$indem$\theta\in[0, 2\pi)$, aber dies ist keine offene Menge von$\mathbb{R}$in der üblichen Topologie.

Es stellt sich also heraus, dass wir mindestens zwei Zuordnungen benötigen. Es gibt viel Freiheit bei der Auswahl, aber zum Beispiel

• $m_1(\theta) = \theta, \theta\in(0, 3\pi/2)$
• $m_2(\theta) = \theta, \theta\in(\pi, 5\pi/2)$

Beachten Sie, dass sich diese überschneiden: in$(pi, 3\pi/2)$,$m_1(\theta) = m_2(\theta)$, und in$(0, \pi/2)$,$m_1(\theta) = m_2(\theta - 2\pi)$. Und zwischen ihnen bilden sie alle Punkte ab$S$in einer 1-1, kontinuierlichen Weise, um Teilmengen von zu öffnen$\mathbb{R}$.

Es sollte offensichtlich sein, dass wir mehr als eine Zuordnung benötigen: obwohl$S$lokal aussieht$\mathbb{R}$, sieht es global nicht so aus$\mathbb{R}$überhaupt. Und das ist ein Teil des Sinns der ganzen Sache mit der topologischen Mannigfaltigkeit: Wir wollen in der Lage sein, über Objekte zu sprechen, die lokal ähnlich sind$\mathbb{R}^n$aber was global vielleicht überhaupt nicht so ist.

Hinweis zu Überschneidungen. Oben habe ich gesagt, dass „offene Mengen in der üblichen Topologie immer mit Überlappungen enden“. Was dies bedeutet, ist leicht zu sehen, wenn man den Schnittpunkt zweier offener Intervalle von betrachtet$\mathbb{R}$:$(a,b) \cap (c,d)$. Diese Menge ist entweder leer, wenn$c \ge b$, oder es enthält mehr als einen Punkt , wenn$c < b$. Es enthält nie nur einen einzigen Punkt. Dies ist eine Eigenschaft der üblichen Topologie auf$\mathbb{R}$: Es gilt nicht für alle Topologien, aber es gilt für die übliche Topologie. Beispielsweise gilt dies nicht für die diskrete Topologie, bei der alle Mengen offen sind, denn dann$\{x\} \cap \{x\}$ist ein einzelner Punkt, und$\{x\}$ist in dieser Topologie offen: deshalb ist die diskrete Topologie nutzlos. Ich kenne den Namen dieser Bedingung nicht: Es könnte die Hausdorff-Bedingung oder eine Implikation davon sein, aber ich bin mir nicht sicher.

Solange wir uns an eine Topologie halten, in der dies zutrifft, können wir sicher sein, dass, wenn wir Karten für alle Mannigfaltigkeiten haben, diese Karten Überlappungen haben werden, und das bedeutet, dass wir uns unter Verwendung der Überlappungen zwischen ihnen zurechtfinden können. Und das bedeutet, dass es in der Mannigfaltigkeit keine „schlechten Stellen“ gibt, an denen die Kontinuität zusammenbricht: Wenn es solche schlechten Stellen geben soll, müssen wir sie irgendwie aus der Mannigfaltigkeit herausschneiden (solche schlechten Stellen sind natürlich Singularitäten).

Die Fragen

1. Was mit „es kann keine Sprünge geben“ gemeint ist, ist zum Beispiel, dass Bahnen von Partikeln in der Mannigfaltigkeit kontinuierlich sind, was direkt zu Bahnen in den Bildern der Karten zwischen der Mannigfaltigkeit und führt$\mathbb{R}^n$kontinuierlich sein, wie wir es von der Basisanalyse erwarten. Tatsächlich gibt es keine Sprünge.
2. Sie brauchen nicht unbedingt zwei Sets, oder die beiden Sets können Kopien voneinander sein. Der oben skizzierte Trick, eine Mannigfaltigkeit zu definieren, erfordert jedoch, dass es gut erzogene Abbildungen zwischen ihr und gibt$\mathbb{R}^n$bedeutet, dass Sie tatsächlich immer zwei Mengen haben, und Sie können Dinge wie Kontinuität aus elementaren Begriffen der Kontinuität auf die reellen Zahlen übertragen.
3. Die Mannigfaltigkeit ist stetig, weil sie diese stetigen Abbildungen erlaubt. Wenn es nicht kontinuierlich wäre, würden diese Abbildungen überhaupt nicht existieren.
4. Ich denke, das ist rückwärts: Das Definieren einer Topologie für eine Menge definiert, was "kontinuierlich" bedeutet : Wenn Sie eine andere Topologie definieren (es gibt verschiedene mehr oder weniger pathologische wie die diskrete Topologie (alle Mengen sind offen) und die Trivialität Topologie (nur die ganze Menge und die leere Menge sind offen)) erhalten Sie einen anderen Begriff von Stetigkeit.

Zeiger

• Ich habe Geometrische Methoden der mathematischen Physik von Schutz immer gemocht , was eine viel bessere Version der Skizze gibt, die ich hier gegeben habe. Es war das erste Buch, das ich las und das mir verdeutlichte, was Topologie eigentlich ist und warum sie nützlich ist.
• Analysis, Mannigfaltigkeiten und Physik von Choquet-Bruhat, deWitt-Morette mit Dillard-Bleick ist ein viel ernsthafterer Ansatz, der mit einem ziemlich heftigen Überblick über Topologie und Analysis beginnt. Früher habe ich das als Referenz verwendet.

Es gibt sicherlich modernere Referenzen und sicherlich andere ebenso alte und vielleicht bessere Referenzen: Dies sind nur die Bücher, die ich vor etwa 1990 verwendet habe.