Physikalische Bedeutung der magnetischen Länge

Zunächst einmal ist der von Ihnen angegebene Ausdruck für die magnetische Länge falsch: Es fehlt eine Quadratwurzel:$l_B=\sqrt{\frac{\hbar c}{eB}}$.

Zweitens müssen Sie, um die Bedeutung zu verstehen, nicht wirklich über Gitter oder Phasen der Elektronenwellenfunktion nachdenken, wie es die vorherigen Antworten wollten. Beginnen Sie stattdessen damit, über die Bewegung eines klassischen geladenen Teilchens in einem Magnetfeld nachzudenken . Wenn es eine Anfangsgeschwindigkeit senkrecht zum Feld hat, bewegt es sich auf einem Kreis, dessen Radius sich aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ergibt:$m v^2/R = \frac{e}{c}vB \Rightarrow R=\frac{mvc}{eB}$- der sogenannte Larmor-Radius.

Fragen wir uns nun, was wäre der kleinste Radius, den die Unschärferelation erlaubt? Immerhin der Larmor-Radius$R\propto mv=p$, aber die Unschärferelation besagt, dass beide nicht gleichzeitig beliebig klein sein können. Tatsächlich sind die Unsicherheiten in Position und Impuls des Teilchens begrenzt durch$\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$. Für ein Teilchen, das sich um einen Kreis bewegt,$\Delta x = 2R$während$\Delta p = 2mv$. Um die Unsicherheit zu minimieren, sollten wir ersetzen$mv \to \hbar/R$im Ausdruck für den Larmor-Radius (ich ignoriere hier den Faktor 8 - aber uns geht es um die physikalische Bedeutung, nicht um die genauen Zahlen). Das gibt$R^2=\frac{\hbar c}{eB}$- das ist der Ausdruck für die magnetische Länge! Mit anderen Worten, die magnetische Länge$l_B$hat die physikalische Bedeutung der kleinsten Größe einer Kreisbahn in einem Magnetfeld, die von der Unschärferelation zugelassen wird.

Die physikalische Bedeutung ist die Länge der Elektronenbahn, entlang der dieses Elektron einen vergleichbaren Phasenfaktor gewinnt$2\pi$aus dem Magnetfeld. Normalerweise ist es ziemlich groß. Wenn es so klein wie die Gitterkonstante ist, bedeutet dies, dass das Magnetfeld mit dem elektrischen Feld im Atom vergleichbar ist, was eher selten vorkommt.

Die magnetische Länge hat eine tiefere Bedeutung$l_B$. Es ist die Gitterkonstante einer zweidimensionalen (2D) künstlichen Struktur. Betrachten wir ein Teilchen, das sich in einer 2D-Ebene unter einem senkrechten, gleichmäßigen Magnetfeld der Stärke bewegt$B$. In der klassischen Mechanik ist das System offensichtlich translationsinvariant unter jeder Translation. In der Quantenmechanik ist dies jedoch nicht der Fall, denn was in die Schrödinger-Gleichung eingeht, ist das entsprechende Vektorpotential, das diese Symmetrie bricht. Trotzdem ist es immer noch möglich, ein künstliches Gitter mit primitiven Vektoren zu definieren$\vec{a}$Und$\vec{b}$, so dass die Übersetzung von jedem$\vec{R} = m\vec{a} + n\vec{b}$bleibt eine Symmetrie, sofern die Fläche der Elementarzelle ist$|\vec{a}\times\vec{b}|=l^2_B$. Das bedeutet, dass,$l_B$misst die Gitterkonstante dieses künstlichen Gitters.

Weitere Einzelheiten finden Sie in dem Buch The Geometric Phase in Quantum Systems von A. Bohm et al. Auch dieses Papier ist sehr nützlich: PRL49:405 (1982).