Protonen-Spin/Flavour-Wellenfunktion

Beachten Sie, dass Griffiths sehr darauf achtet, jeden dieser Begriffe zuzuordnen,

$$udu ~~\Leftrightarrow~ \uparrow \downarrow \uparrow,$$ und wenn Sie beide Begriffe gleichzeitig finden, erhalten Sie zwei Vorzeichenwechsel: $$(\downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow)\otimes (duu - udu) = (-1)^2 (\uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow)\otimes(udu - duu)$$ und da $(-1)^2 = 1$das ist kein Thema.

Die eigentliche Frage, die Sie stellen, lautet also: Warum müssen wir diese Begriffe abgleichen? Und das ist eine gute Frage und hat damit zu tun, wie die drei Begriffe zusammenspielen (ein Vorzeichenwechsel bei einem einzelnen Begriff trägt nicht zur Konsistenz oder Inkonsistenz bei).

Der Ausdruck hat also die Form "Wir werden einige einfügen$u_\uparrow$Zustand in den zweifach antisymmetrisierten 2-Quark-Zustand

$$d_\downarrow u_\uparrow - d_\uparrow u_\downarrow - u_\downarrow d_\uparrow + u_\uparrow d_\downarrow,$$ weil wir wissen, dass wir zwei haben $\uparrow$Drehungen und zwei $u$Quarks und so muss eines dieser Up-Quarks im Spin-Up-Zustand sein." (Beachten Sie das unter $1^\text{st}\leftrightarrow2^\text{nd}$obiger Austausch ist in der Tat symmetrisch, wobei der letzte Term genau der erste Term ist, wobei die beiden Teilchen die Plätze tauschen.) Nun entscheidet sich der Ausdruck dafür, dies symmetrisch einzufügen $u_\uparrow$Quark an der ersten Position, der zweiten Position und der dritten Position, so dass das Ergebnis hier noch symmetrisch ist und nach Korrektur der Farbladung antisymmetrisch wird.

Was Sie durch Umkehren des Vorzeichens des ersten Terms vorschlagen, ist daher nicht symmetrisches Einfügen$u_\uparrow$Quark an jedem der drei Punkte, aber an erster Stelle mit einer 180-Grad-Phasenverschiebung eingefügt. Und das wird hier natürlich nicht richtig symmetrisch oder danach antisymmetrisch sein.

Ihr Text, mit dem ich nicht vertraut bin, hat vielleicht einigen Lesern einen Bärendienst erwiesen, indem er versucht hat, Platz zu sparen, indem er die untere Zeile Ihrer Formel zunichte macht. Wenn Sie die Permutationsterme aufschreiben, erhalten Sie die vollständige Protonenwellenfunktion:

$$\frac{1}{\sqrt{18}} ~ (2 u\uparrow ~ u\uparrow ~ d\downarrow - u\uparrow ~ u\downarrow ~ d\uparrow -u\downarrow ~ u\uparrow ~ d\uparrow \\ +2 u\uparrow ~ d\downarrow ~ u\uparrow - u\downarrow ~ d\uparrow ~ u\uparrow-u\uparrow ~ d\uparrow ~ u\downarrow \\ + 2d\downarrow ~u\uparrow ~ u\uparrow - d\uparrow ~u\downarrow ~ u\uparrow - d\uparrow ~u\uparrow ~ u\downarrow ).$$ Dass dies unter Vertauschung der 1-2-Quarks, sowie der 2-3-Quarks und auch der 3-1-Quarks vollsymmetrisch ist, können Sie direkt durch Inaugenscheinnahme nachweisen! Da die Positionen 1,2,3 Platzhalter für Farbindizes sind, die antisymmetrisiert sind ("von der Bühne"), sind alle Quarks, wie echte Fermionen, untereinander vollständig antisymmetrisiert. Bestätigen Sie, dass dies eine einzigartige Zusammensetzungskonfiguration für den Spin-up-Protonenzustand ist.

Die volle Symmetrie der obigen Wellenfunktion ist eine Illustration der Anziehungskraft, die die (Gürsey-Radicati-Sakita, 1964) Flavor-Spin- SU(6) unter den Fachleuten auf diesem Gebiet hat: Dies ist nur eine Komponente der 56 Irrep davon " Hilfsgruppe", die eine vollsymmetrische Darstellung ist, in scharfem Kontrast zu den Darstellungen von Spin SU(2) , Flavor SU(3) und seiner speziellen Untergruppe SU(2) (Isospin). Siehe unten.

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Ihre mögliche Verwirrung wird durch die Unordnung der verschiedenen Teile untermauert, die sich wie Sudoku verschworen haben, um diese einfache Antwort zu ergeben, die für Sie die transformative Mystik veranschaulichen könnte, die diese Struktur vor einem halben Jahrhundert auf dem Gebiet hatte, als Gell-Mann sie offenbarte die Welt... ihr Wahnsinn hatte Methode, und in der richtigen Sprache gedacht, machte es Sinn, aber nicht so, wie es mehrere Jahrzehnte lang erwartet worden war.

Was tatsächlich passiert, ist, dass die Wellenfunktion eine gemischte Symmetrie im Spin-Raum und im Flavour-Raum hat (achtfacher Weg oder Isopspin, hier), während sie in der Kombination dieser beiden symmetrisch ist. Tatsächlich sind die jeweiligen Komponenten-Wiederholungen reduzierbar (aber wie Sie oben gesehen haben, verschwören sie sich, um Teile der einfachen irreduziblen Wiederholung oben zu produzieren – das ist der Punkt der Verallgemeinerung, der „großen Synthese“, wie MGM es zu sagen pflegte.)

Wenn Sie sich insbesondere die 1-2-Partikel-Austausche in (5.62) ansehen,$\psi_{12}$(Spin) ist antisymmetrisch (ein Spin-Singlet, zusammengesetzt aus einem Spin-Dublett für das 3. Quark); aber es wird mit einem antisymmetrischen Aroma multipliziert$\psi_{12}$(Isopin), um ein symmetrisches Austauschstück zu erhalten.

Siehe: Unter diesem gleichen Austausch drehen sich die anderen beiden Teile in sehr unterschiedlichen Wiederholungen von Spin und Isospin ineinander, um Ihre Symmetrie zu erzielen, wie Sie oben gesehen haben, nämlich

$$\psi_{23}(s)\psi_{23}(f) + \psi_{13}(s)\psi_{13}(f) \leftrightarrow \psi_{13}(s)\psi_{13}(f) +\psi_{23}(s)\psi_{23}(f) .$$ Ihre passenden Stücke passen in Spintripletts und Isotripletts! (Eingebettet in Flavor SU(3) würde dies das gemischte Symmetrie-Oktett 8 von Baryonen beinhalten: Deshalb hat es dieses lustige Γ-förmige Young-Tableau, falls Sie mit der Symmetrierechnung vertraut sind, die diese bieten.)

Es besteht keine Freiheit, die Vorzeichen zwischen den verschiedenen Komponenten anzupassen, während die vollständige Symmetrie zwischen 1, 2 und 3 beibehalten wird.

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Randbemerkung (formaler Spitzfindigkeit): Da keine Strange-Quarks beteiligt sind, handelt es sich bei der fraglichen Untergruppe von SU(6) eigentlich nur um SU(4) (Wigner 1937), in deren symmetrische 20- Darstellung auch die obige Protonenwellenfunktion gehört. Unter der Spin x Isospin-Untergruppe davon,$SU(2)\times SU(2)$,${\mathbf 20}=({\mathbf 2},{\mathbf 2})\oplus({\mathbf 4},{\mathbf 4})$, wobei der erste Term das Proton-Neutron-Isodoublet, Spin-Dublett, ist, von dessen 4 Zuständen diese Wellenfunktion einen darstellt; und das zweite ist das Δ-Baryon, Spin-Quartett-Isoquartett im Baryon-Dekuplett der achtfachen Weise.