Radioaktiver Zerfall

Problem : Kerne eines radioaktiven Elements X Abklingkonstante haben λ , ( zerfällt in einen anderen stabilen Kern Y ) wird durch einen externen Prozess mit konstanter Geschwindigkeit erzeugt Λ .Berechnen Sie die Anzahl der Kerne von X Und Y bei T 1 / 2

Ich habe versucht, eine Gleichung für die Änderungsrate der Anzahl der Kerne a aufzustellen:

D N X D T = Λ − N X λ

Ich tat das, weil in einfachem Verfall D N D T = − λ N hält und hier wird auch nach Rate produziert. Aber nach der Integration sollten wir schreiben

l N ( λ N X − Λ λ N 0 − Λ ) = − λ T
oder
l N ( λ N X − Λ N 0 ) = − λ T
Erstens, weil das Limit aktiviert war N : ( N 0 → N ) Und als nächstes, was zu ersetzen ist T (dh was ist T 1 / 2 ? l N 2 / λ oder etwas anderes?)

Auch wie es geht Y ? Einfach schreiben

D N Y D T = λ N X
?

Übrigens: Es gibt einen Grund für dieses Problem. Wenn Sie eine Zerfallskette haben W → X → Y bei dem die τ W ≫ τ X Messungen auf der Zeitskala von τ X sehen aus, als hätten sie eine konstante Nachfüllrate von Arten X . Dies ist beispielsweise am Fuß der Radonkette der Fall, wo W ist Pb-210 und X ist Po-210 (eigentlich gibt es auch eine intervenierende Spezies mit noch kürzerer Halbwertszeit, aber wenn Sie es herausfinden, werden Sie sehen, dass Sie das effektiv ignorieren können).
Die Differentialgleichung ist richtig, aber die Lösung nicht. Sie müssen einen Integrationsfaktor verwenden, um die Differentialgleichung zu lösen. Die kurze Antwort auf Ihre Frage ist, dass nach einer Halbwertszeit der Wert von N X wird sein Λ / 2 . Dies setzt das voraus N X bei null angefangen.

Antworten (2)

Die erste deiner Gleichungen ist richtig. Sie können dies auf zwei Arten sehen. Schauen Sie sich zunächst nur die Abmessungen an. Im Allgemeinen sollte das Argument eines Logarithmus dimensionslos sein; nur Ihre erste Option ist. Zweitens, und vielleicht überzeugender, schauen Sie sich an, was Sie bekommen, wenn Sie es nehmen Λ → 0 . Sie sollten in der Lage sein, die Standardzerfallsgleichung zu reproduzieren:

N X ( T ) = N 0 e − λ T   .
In Ihrer ersten Gleichung sind die Faktoren von λ auf der linken Seite abbrechen, und Sie erhalten dieses Ergebnis. Mit Ihrer zweiten Gleichung würden Sie erhalten N X ( T ) = N 0 λ e − λ T . Das muss also falsch sein.

Wofür T 1 / 2 ist, sicherlich muss es nur die Halbwertszeit von sein X (ohne Schöpfung). Insbesondere wenn Λ groß genug ist, N X wird tatsächlich wachsen, es gibt also keinen Zeitpunkt, an dem die Hälfte des Materials übrig ist. Seit Y stabil ist, können Sie davon ausgehen, dass es dort keine relevante Halbwertszeit gibt.

Auch Ihr Ausdruck für N Y ist richtig. Es ist eine etwas schwierigere Integration, aber nicht so schlimm.

Siehe hier (ein Teil dieser Antwort ist meiner Meinung nach falsch) en.wikipedia.org/wiki/Half-life
Hallo @nagon. Ich verstehe die Definition der Halbwertszeit, aber die Frage ist etwas zweideutig, welche Bedeutung dem Symbol beizumessen ist T 1 / 2 . Wie ich oben argumentiert habe und 007 als Antwort auf Ihre Antwort argumentiert hat, wenn Λ groß genug ist, wird es nie einen Zeitpunkt geben, an dem N X = N 0 / 2 . Und selbst wenn es eine solche Zeit gibt, die Bedeutung von T 1 / 2 käme dann auf die Umstände an. Eine andere vernünftige Interpretation des Symbols T 1 / 2 ist, es als festes Merkmal eines bestimmten Isotops zu betrachten. In diesem Fall macht die Frage tatsächlich generell Sinn.
Ich denke auch, dass die Behandlung T 1 / 2 als festes Merkmal eines Isotops ist nur eine gebräuchlichere Konvention. Ein Teil des Physikunterrichts besteht darin, die Bedeutung von Fragen zu entschlüsseln. :)
Wenn die Produktionsrate groß genug ist, wird die Bevölkerung auf eine größere Gleichgewichtsbevölkerung anwachsen.

Also habe ich Folgendes getan, ich habe das Problem diskretisiert und abgeleitet N X Und N j bei einigen T N . Diese enthielten zufällig Summen, die leicht in Integrale umgewandelt werden konnten. Nämlich:

N X ( T N ) = N 0 e − λ T N + Λ ∑ ich = 0 N Δ T ich e − λ ( T N − T ich )
N j ( T N ) = N 0 ( 1 − e − λ T N ) + Λ ∑ ich = 0 N Δ T ich ( 1 − e − λ ( T N − T ich ) )

Als Ergebnis habe ich folgendes gefunden:

N X ( T )   =   N 0 e − λ T + Λ λ ( 1 − e − λ T )
N j ( T )   =   N 0 ( 1 − e − λ T ) − Λ λ ( 1 − e − λ T ) + Λ T

Bei T 1 2 = l N ( 2 ) λ , e − λ T = 1 2 , Deshalb:

N X ( T 1 2 )   =   N 0 + Λ λ 2
N j ( T 1 2 )   =   N 0 2 + Λ λ ( l N ( 2 ) − 1 2 )

Okay, also bin ich bereit, eine verdiente -1 zu akzeptieren, aber die allgemeine Höflichkeit hätte, wer auch immer es war, einen Kommentar hinterlassen, warum sie meine Antwort nicht mochten. Es stimmt mit dem überein, was Mike gesagt hat, und beantwortet die Frage, soweit ich weiß, vollständig. Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Ich verstehe das -1 auch nicht wirklich. So würde ich das nicht lösen, aber es scheint richtig zu sein.
+1 . Korrekte Antworten. Mit voller Integration. :). Naja das mache ich morgen. Mein Tageskontingent ist abgelaufen.:p
@007 Dein Tageskontingent ist abgelaufen? Sie machen der Seite alle Ehre, Sir.
Tagesquote für das Voting. Und warum nennst du das Sir?
Ich weiß, ich meinte es ernst. Wenn Sie Ihr Kontingent ausschöpfen, widmen Sie der Website eindeutig viel Zeit, um sie für uns alle zu verbessern. So war ein Verdienst, das „Sir“ ein Ehrentitel
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