Verschwindet der elektrische Quadrupol, wenn |ψ|2|ψ|2|\psi|^2 kugelsymmetrisch ist?

Im Allgemeinen werden alle Multipole einer kugelsymmetrischen Verteilung verschwinden ; Dies liegt daran, dass eine sphärische Verteilung vollständig monopolar ist (d. h. sie kann als eine angesehen werden$\ell=0$Funktion) und multipolare Funktionen stehen orthogonal über der Kugel.

Für Ihren speziellen Fall ist das verschwindende Integral leicht mit einfachen Mitteln zu überprüfen: Wenn$\psi(\mathbf r)$kugelsymmetrisch ist, dann muss sie unter der einfacheren Symmetrie unveränderlich sein

$$\psi(x,y,z) = \psi(y,z,x) = \psi(z,x,y)$$ die die drei Koordinatenachsen permutiert, also eine Drehung um 120° um eine Achse $\arccos(1/\sqrt{3}) = 54.7$° aus Ihrer Initiale heraus $z$Achse; Diese einzelne diskrete Symmetrie ist alles, was erforderlich ist, um zu zeigen, dass die Quadrupole verschwinden. Um das zu sehen, beobachten Sie einfach das Austauschen der $z$koordinieren in der Wägefunktion für eine $x$oder ein $y$Koordinate kann den Wert des Integrals nicht ändern (weil sich die Dichte unter der Drehung nicht ändert), also daher $$\begin{align} Q & = \int(3z^2-r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r \\& = \int(3y^2-r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r \\& = \int(3x^2-r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r. \end{align}$$ Von hier aus besteht der Trick darin, alle drei Versionen dieser Gleichheit zusammenzufügen und jeweils eine zu erhalten $x^2$, $y^2$Und $z^2$Begriffe und drei der $r^2$Bedingungen, $$\begin{align} 3Q & = \int(3(x^2+y^2+z^2)-3r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r \\ & = \int(3r^2-3r^2)|\psi(\mathbf r)|^2 \mathrm d^3\mathbf r \\ & = 0 \end{align}$$ die sich genau aufheben, weil sich die anisotropen Terme zu einem einfachen radialen Term addieren, dessen Koeffizient den kombinierten Beitrag der anfänglichen isotropen Terme aufhebt. (Und ja, hier ist das $3$kommt natürlich her.)