Raumkrümmung in der Nähe eines Schwarzen Lochs

Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass „die Topologie des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs im Gleichgewicht immer kugelförmig ist“.

Diese Antwort verdeutlicht, was diese Aussage bedeutet. Das bedeutet, wenn wir mit einem beliebigen Schwarzen Loch in der 4D-Raumzeit beginnen und dann den Horizont als eine 3D-Mannigfaltigkeit für sich betrachten, hat diese Mannigfaltigkeit die Topologie$S^2\times \mathbb{R}$, Wo$S^2$ist eine Zwei-Kugel (die Oberfläche einer Kugel) und$\mathbb{R}$ist eine Linie. Es ist eine Aussage über Topologie, nicht über Geometrie. Insbesondere sagt die Aussage (fast) nichts über Geodäten (oder parallele Linien) aus.

Übrigens ist die Aussage spezifisch für Schwarze Löcher in der 4D-Raumzeit. In der 5D-Raumzeit kann ein Schwarzes Loch einen Ereignishorizont mit nicht kugelförmiger Topologie haben.

Beispiel

Betrachten Sie die Schwarzschild-Metrik in der 4d-Raumzeit. Das Linienelement für raumartige Weltlinien ist

$$ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1}$$ Wo$A(r)$geht am Horizont auf Null. Die Notation$d\Omega^2$ist eine Abkürzung für den sphärischen Koordinatenteil: ohne den Faktor von$A$, die Kombination${dr^2}+r^2d\Omega^2$wäre das Linienelement des flachen euklidischen 3D-Raums in sphärischen Koordinaten. Jeder feste Wert von$r$definiert eine 3D-Untermannigfaltigkeit der 4D-Raumzeit. Wenn$A(r)\neq 0$, die induzierte Metrik auf dieser Mannigfaltigkeit ist $$ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2}$$ wo jetzt$r$Und$A(r)$sind Konstanten. Dies ist die Standardmetrik an$S^2\times\mathbb{R}$, wo der Faktor$\mathbb{R}$berücksichtigt die zusätzliche Koordinate$t$. Am Horizont haben wir$A(r)=0$, und Gleichung (1) macht dort keinen Sinn. Der glatte Verteiler macht dort immer noch Sinn, aber die Komponenten der Metrik nicht. Wir können dies auf zwei Arten angehen:

• Nehmen$r$willkürlich nahe an diesem Wert liegen. Das ist gut genug, um zu sehen, was die Topologie der$A(r)=0$vielfältig sein wird. Gleichung (1) besagt, dass die$dt^2$am Horizont verschwindet, was der Tatsache entspricht, dass der Horizont eine Null- Hyperfläche ist: Verschiebungen in der$t$-Richtung sind lichtartig (haben eine Länge von Null).

• Noch besser, wir können ein anderes Koordinatensystem verwenden, damit die 4D-Metrik am Horizont gut definiert ist. In Kerr-Schild-Koordinaten hat die Schwarzschild-Metrik die Form

  $$ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3}$$ Wo$V(r)$ist überall außer at wohldefiniert$r=0$. Der Horizont entspricht$V(r)=1$, bei dem die$dt^2$Begriff verschwindet. Einstellung$r$gleich diesem speziellen Wert ergibt die induzierte Metrik $$ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4}$$ Dies ist die Standardmetrik an$S^2$, aber die Topologie ist tatsächlich$S^2\times\mathbb{R}$, bei dem die$\mathbb{R}$Faktorkonten für die$t$-Koordinate. Es gibt kein$dt^2$Term in (4), weil der Horizont eine Null-Hyperfläche ist: Verschiebungen in der$t$-Richtung haben die Länge Null. Dies ist die gleiche Schlussfolgerung, zu der wir zuvor gelangt sind, aber jetzt sind wir direkter zu ihr gelangt, da die Metrik (3) am Horizont gut definiert ist.

Ich glaube nicht, dass es richtig wäre, die Raumzeit in der Nähe eines Schwarzen Lochs als "kugelförmig" zu beschreiben. Zum einen ändert sich die Krümmung des Raums je nachdem, wie nahe man dem Schwarzen Loch ist. Bei einer Kugel ist die Krümmung eine Konstante und variiert nicht mit der Position. Außerdem benötigen Sie mehr als eine einzelne reelle Zahl, um die Krümmung von Raumzeiten mit Dimensionen größer als 2 anzugeben. (Das liegt daran, dass Sie möglicherweise einen Raum haben, in dem die Winkel eines Dreiecks, das in eine Richtung ausgerichtet ist, weniger als 180 Grad ergeben , aber die Winkel eines Dreiecks, das in eine andere Richtung ausgerichtet ist, summieren sich zu mehr als 180 Grad.) Außerdem hängt das Gravitationsfeld des Schwarzen Lochs zu einem großen Teil von der Tatsache ab, dass die Raumzeit gekrümmt ist, nicht nur von der räumlichen Krümmung.

Sie könnten die Krümmung der Raumzeit wahrscheinlich immer noch anhand der Vorzeichen verschiedener Komponenten des Krümmungstensors klassifizieren, aber die Klassifizierung wäre komplizierter als sphärisch vs. flach vs. hyperbolisch.