Wie viel zusätzliche Distanz zu einem Ereignishorizont?

Ich vermute, Sie stellen nicht die Frage, die Sie wirklich interessiert, weil die Antwort auf Ihre Frage wirklich langweilig ist. Wenn Sie in ein Schwarzes Loch springen, sehen Sie, wie sich der Ereignishorizont vor Ihnen zurückzieht, und Sie werden ihn niemals überqueren. Die von Ihnen zurückgelegte Strecke ist eine mehrdeutige Größe, da Sie in Ihrem Rahmen natürlich stationär sind und überhaupt keine Strecke zurückgelegt haben. Die Zeit, die Sie brauchen, um die Distanz zu überwinden$r=r_s$dann ist die Singularität endlich und für stellare Schwarze Löcher sehr kurz.

Eine viel interessantere Frage ist, wenn Sie außerhalb des Horizonts schweben und ein Maßband herunterlassen, wie lange es dauern müsste, um den Horizont zu erreichen, dh was erhalten Sie durch Integration$dr$in radialer Richtung zum Ereignishorizont? Die Schwarzschild-Metrik lautet:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)} + r^2 d\Omega^2$$

Nehmen wir an, wir schweben in einiger Entfernung$r_1$von der Singularität und lassen Sie ein Maßband herunter, um die Entfernung zu einem bestimmten Punkt in einem radialen Abstand zu messen$r_2$. Weil$dt$Und$d\Omega$konstant sind, vereinfacht sich die Gleichung für das Linienelement zu:

$$ds = \frac{dr}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}}$$

Um die Länge des Bandes zu erhalten, müssen wir nur diesen Ausdruck von integrieren$r_1$Zu$r_2$:

$$\begin{align} s &= \int_{r_2}^{r_1} \frac{dr}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}} \\ &= \int_{r_2}^{r_1} \frac{r^{1/2}dr}{\left(r-r_s\right)^{1/2}} \end{align}$$

Um dies zu integrieren, schummeln wir und schlagen die Antwort in einem GR-Buch nach . Das Ergebnis ist:

$$s = \left[ z \sqrt{z ^2 - r_s} + r_s \ln \left( z + \sqrt{z ^2 - r_s} \right) \right]_{z_2}^{z_1}$$

wo wir die Substitution verwendet haben$r = z^2$das Integral beherrschbar zu machen.

Um das konkret zu machen, nehmen wir ein Schwarzes Loch mit der Masse der Sonne, also$r_s$= 2954 m, und wir beginnen 5 km entfernt, dh$r_1 = 5000$. Lassen Sie uns die Länge des Bandes als Funktion von grafisch darstellen$r_2$:

Die magentafarbene Linie ist das Newtonsche Ergebnis, dh wenn der Raum flach wäre, und die blaue Linie ist das, was wir tatsächlich messen. Die Entfernung des Maßbandes von $r = 5 km zum Ereignishorizont beträgt etwa 4.780 m im Vergleich zu der Newtonschen Berechnung von 2046 m.

Die Auswirkung der Krümmung besteht also darin, den radial gemessenen Abstand größer als zu machen$r_1 - r_2$. Ich muss jedoch betonen, dass dies nicht das ist, was Sie messen würden, wenn ich Sie in das Schwarze Loch werfen würde. Dies ist die Entfernung, die von einem Beobachter gemessen wird, der weit vom Ereignishorizont entfernt schwebt.

Das Integral, das John Rennie angegeben hat, kann durch den Gammafaktor verbessert werden, vorausgesetzt, die Bewegung des Beobachters ist im$\rm r$Richtung, und die große$\rm R$ist die beobachterabhängige räumliche Distanz:

$${\rm \Delta R= \int_{r_2}^{r_1}}=\frac{\sqrt{g_{\rm r r}}}{\gamma} \ \rm dr$$

Sie müssen jedoch prüfen, welcher Gammafaktor für welche Koordinaten verwendet werden soll. Wenn Sie aus der Ruhe ins Unendliche oder mit der negativen Fluchtgeschwindigkeit in das Schwarze Loch fallen

$$\rm v=-v_{esc}=-c \sqrt{r_s/r}$$

in den klassischen Schwarzschild/Droste -Koordinaten, die wir haben

$$\sqrt{g_{\rm r r}} = \frac{1}{\sqrt{1-\rm r_s/r}}$$

und der Gammafaktor für den einfallenden Beobachter ebenfalls

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\rm v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\rm r_s/r}}$$

also heben sich die radiale Ausdehnung und die Längenkontraktion in seinem Rahmen auf:

$$\frac{\sqrt{g_{\rm r r}}}{\gamma} = 1$$

deshalb in Gullstrand/Painlevé Koordinaten, wo die$\rm -v_{esc}$wird in die absorbiert$g_{\rm t r}$und die lokale Geschwindigkeit$\rm v$ist nicht relativ zu stationären, sondern frei fallenden Referenzbeobachtern (den sogenannten Regentropfen), und$\rm v=0$in diesem Koordinaten gleich$\rm v=-v_{esc}$in den anderen Koordinaten erhalten Sie

$$\sqrt{\bar g_{\rm r r}} = 1$$

und die räumlichen Komponenten der kovarianten Metrik sind euklidisch, also

Hamilton & Lisle schrieben: „Im Flussmodell fließt der Raum selbst wie ein Fluss durch einen flachen Hintergrund“

und die Entfernung ist einfach$\rm r_2-r_1$. Wenn Sie nicht mit der Fluchtgeschwindigkeit fallen, hebt sich der lokale Faktor nicht auf$1$und die Entfernung unterscheidet sich von$\rm r_2-r_1$. Wenn Sie langsamer als die Fluchtgeschwindigkeit sind, ist sie größer, und wenn Sie schneller sind, ist sie kleiner.

Hinter dem Horizont ist es umgekehrt, wenn man es nimmt$\rm v$(relativ zum Schwarzen Loch selbst) als Maß dafür, wie schnell Sie sind, aber beachten Sie das$\rm v$Und$\rm dr/d\tau$sind grundsätzlich verschiedene Dinge. Je näher an$\rm c$dein$\rm v$ist (von oben oder unten), desto mehr Kontraktion bekommt man. Innerhalb des schwarzen Lochs, wo Sie haben müssen$\rm v>c$, ein kleiner$\rm v$(aber immer noch größer als$\rm c$) gleich größer$\rm dr/d\tau$als ein$\rm v$viel größer als$\rm c$Und$\rm dr/d\tau \to \infty$gleich$\rm v \to c$außerhalb und innerhalb des Horizonts.

In der speziellen Relativitätstheorie (wo die Fluchtgeschwindigkeit immer ist$0$da es keine Schwerkraft gibt) wäre die Entfernung für einen sich bewegenden Beobachter auch kürzer als$\rm r_2-r_1$, denn wenn Sie sich auf Ihr Ziel zubewegen, schrumpft die Entfernung um den Gammafaktor Ihrer Geschwindigkeit.