Rechnerische Vorteile verschiedener Notationen für Elektromagnetismus [geschlossen]

Die meisten Elektromagnetismus-Kurse und -Lehrbücher für Studenten verwenden die Vektornotation, um die Maxwell-Gleichungen zu beschreiben. Es gibt jedoch andere Notationen wie Differentialgeometrie und geometrische Analysis, die die Gleichungen und Ableitungen vereinfachen, die sie verwenden. (Siehe zum Beispiel E&M und Geometrie – eine historische Perspektive oder den Artikel Teaching elektromagnetische Feldtheorie unter Verwendung von Differentialformen von Warnick et al.)

Meine Frage lautet: Bietet die Verwendung von Differentialformen oder geometrischen Kalkülen einen rechnerischen (insbesondere Papier-und-Bleistift-) Vorteil im nicht-relativistischen Elektromagnetismus?

Mit anderen Worten, wenn ich versuche, die elektromagnetischen Felder und/oder Potentiale eines bestimmten Systems zu finden, werden diese anderen Notationen kürzere Berechnungen ergeben ? Können Sie bitte ein konkretes (nicht triviales) Beispiel geben?

Hallo Ted und willkommen bei Physics Stack Exchange! Traditionell haben wir nicht viele Bildungsfragen gehostet, daher können die Leute dies als Off-Topic betrachten. wenn ja, können wir es an Mathematikpädagogen schicken . Ich möchte die Menschen auf diese Metafrage zur Aktualität dieser Fragen aufmerksam machen.
Ich bin bereit, die Bildungssprache über Bord zu werfen. Das ist mehr für den Kontext als für den Inhalt.
Dies reicht für eine Antwort nicht aus, aber meiner Erfahrung nach ist es einfacher, die übliche Vektorrechnung mit diffformen durchzuführen. Sie müssen sich nicht daran erinnern, wie Flächen- und Volumenelemente berechnet werden, einschließlich der Berechnung der Norm eines Kreuzprodukts für das Flächenelement, all diese Dinge "berechnen sich selbst". Auch die Berechnung äußerer Ableitungen in krummlinigen Koordinaten (aber in geringerem Maße auch in kartesischen) ist viel einfacher als mit div/curl, obwohl, soweit ich mich erinnere, die Berechnung von Hodge Duals in nichtkartesischen Koordinaten ein Schmerz sein kann.
@Uldreth Meine Erfahrung ist ähnlich wie deine. Ableitungen und Differentialelemente sind einfach, aber der Hodge-Operator (und der Pullback-Operator) können chaotisch sein. Vielleicht gibt es hier eine Regel zur Erhaltung des Aufwands, aber ich frage, weil ich mit diesen Techniken ein Anfänger bin.
Ich möchte auch hinzufügen, dass, obwohl ich keine Berechnungen damit durchgeführt habe, die Verwendung von beweglichen Rahmen (für orthogonale Koordinaten) auf die gleiche Weise, wie wir es normalerweise in der Vektorrechnung tun, von Vorteil sein könnte. Es macht Hodge Duals trivial, aber äußere Ableitungen komplizierter. Wenn Sie jedoch beispielsweise alle Strukturkoeffizienten zu Beginn der Berechnung berechnen, würde ich sagen, dass die Berechnung äußerer Ableitungen eher eine Routine ist als die Notation der Vektorrechnung. (Im Vergleich zu einem Koordinatenrahmen, meine ich)
Ich war vor langer Zeit Student (1962-1966). Damals waren Tensoranalyse/Differentialgeometrie hauptsächlich Kurse auf Graduiertenniveau. Haben sich die Lehrpläne so stark verändert, dass Physikstudenten diese Fähigkeiten jetzt besitzen, bevor sie E&M studieren?
@LewisMiller Ich denke, das ist je nach Universität unterschiedlich. In meinem Fall (Universität Szeged) wird die Tensoranalyse mit Indizes im Grundstudium gelehrt. Als ich auf diesem Niveau war, hatten wir auch eine sehr elementare, aber moderne Differentialgeometrie (die koordinatenunabhängige), aber es war ein Experiment und es schlug fehl, also sind wir jetzt wieder bei den Indizes. Im Grunde konnten die Schüler damit nicht umgehen. Dazu gehörte auch ich, aber eigentlich war es der Studiengang, der mich studientechnisch richtungsweisend gemacht hat, weil er mich fasziniert hat.
@Lewis Es gibt eine Handvoll Leute, die argumentieren, dass die Vektornotation dem Verständnis von E & M unnötige konzeptionelle Hürden hinzufügt und dass diese anderen Darstellungen kompakter und eleganter sind. Sie lehren also von Anfang an Differentialrechnung oder geometrische Algebra. Das ist alles schön und gut, aber ich bin eher ein Pragmatiker, also bin ich gespannt, ob ich die Dinge am Ende des Tages leichter berechnen kann, wenn ich die Zeit investiere, diese anderen Techniken zu lernen.
@TedCorcovilos Es gibt bestimmte Dinge, die mit Tensortechniken einfacher (und eleganter) berechnet werden können. Ich habe sie ausgiebig in meiner Forschung in der Kernphysik verwendet (mit der Dirac-Gleichung, siehe: journals.aps.org/prc/abstract/10.1103/PhysRevC.14.706 ). Ich mache mir nur Sorgen, dass Studenten sie möglicherweise nicht ausreichend gemeistert haben, um von ihrer Verwendung zu profitieren.
Ich bin enttäuscht, dass meine Frage geschlossen wurde. Können Sie diejenigen, die für die Schließung gestimmt haben, Möglichkeiten zur Verbesserung vorschlagen, anstatt nur ein pauschales "Nein" zu sagen? Ich glaube, ich habe eine berechtigte Frage, aber vielleicht habe ich sie nicht optimal formuliert.

Antworten (2)

Hier ist ein Papier zum Nachdenken:

Unterrichten der elektromagnetischen Feldtheorie unter Verwendung von Differentialformen

Auszug aus dem Abstract:

Berechnungsvereinfachungen resultieren aus der Verwendung von Formen: Ableitungen sind einfacher in krummlinigen Koordinaten zu verwenden, die Integration wird einfacher und Familien von Vektoridentitäten werden durch algebraische Regeln ersetzt.

Ja. Ich habe das Papier auf meinem Schreibtisch. Nachdem ich jedoch einige Beispielaufgaben sowohl mit Differentialformen als auch mit Vektornotation bearbeitet habe, bin ich der Meinung, dass der gleiche Arbeitsaufwand erforderlich war. Genau das hat meine Frage ausgelöst.
Es könnte helfen, dies der Frage hinzuzufügen.

Es gibt eindeutige Vorteile von Differentialformen, geometrischen Kalkülen und vier Vektoren gegenüber 3D-Gibbs-Vektoralgebra und Vektorkalkül.

Insbesondere können Sie zuerst nach dem elektromagnetischen Feld lösen ... und es dann später von jemandem in elektrische und magnetische Teile zerlegen lassen, wenn ihm danach ist (wenn überhaupt).

Zum Beispiel kann die Richtung des Feldes aufgrund einer nicht beschleunigenden Punktladung ausgedrückt werden als äußeres Produkt von 1) den vier Geschwindigkeiten der das Feld erzeugenden Ladung beim Schnittpunkt des vergangenen Lichtkegels des Ereignisses mit dem Feld und die Weltlinie der das Feld erzeugenden Ladung und 2) der Nullvektor, der die beiden Ereignisse verbindet. In dem augenblicklich mitbewegten Inertialsystem der Ladung, die damals das Feld erzeugte, war alles elektrisches Feld. Aber Sie müssen keinen Rahmen auswählen und ein elektrisches Feld und ein magnetisches Feld berechnen. Sie können das Faraday-Feld (elektromagnetisches Feld) einfach direkt berechnen.

Ich schließe ausdrücklich 4-Vektoren usw. aus. Die Frage betrifft Berechnungen auf nichtrelativistische Weise.
@TedCorcovilos Ein Ziel, eine relativistische Theorie auf nicht relativistische Weise zu lehren, scheint darauf abzuzielen, die Theorie nicht wirklich zu lehren. Aber sicher, Sie können immer noch einen Frame auswählen und alles in diesem einen Frame berechnen und niemals Frames wechseln, und dann müssen Sie sich keine Gedanken über die Galileische Relativitätstheorie im Vergleich zu SR machen. Aber Sie sollten das elektromagnetische Feld immer noch so berechnen, als ob Sie sich für die Relativitätstheorie interessieren, und dann einfach die Komponenten in Ihrem einen Rahmen nehmen, um die elektrischen und magnetischen Felder in diesem einen Rahmen zu erhalten.
Ich verstehe Ihren Standpunkt, und ich würde es für einen Graduiertenkurs in Betracht ziehen. Aber das gleichzeitige Unterrichten von spezieller Relativitätstheorie und EM für Studenten, die beides noch nie gesehen haben, scheint zu viel zu sein, um es zu schlucken. Purcells Buch macht einen Versuch, aber auch in seinem Fall ist SR eher eine Rechtfertigung als ein Endergebnis.
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