Relativistische Energie = Viererkraft mal Verschiebungsvierervektor?

Es ist ziemlich leicht zu sehen, dass man, wenn man das innere Produkt des Kraft-Vier-Vektors mit einem Verschiebungs-Vier-Vektor nimmt, keinen korrekten Ausdruck für die mechanische Arbeit erhält, die von der Kraft verrichtet wird. Dies liegt daran, dass das innere Produkt zweier Vierervektoren ein Skalar ist, der in allen Referenzrahmen gleich ist. Aber Energie hängt offensichtlich von Ihrem Bezugsrahmen ab. Eine kompaktere Art, dies auszudrücken, ist, dass in Bezug auf Drei-Vektoren$\textbf{F}\cdot\textbf{v}$ist ein Ausdruck für die Potenz, während bei Vierervektoren dieser Ausdruck identisch verschwindet.

Es ist jedoch wahr, dass, wenn Sie die Arbeit in Bezug auf die Kraft- und Verschiebungs-Dreiervektoren ausdrücken , das Ergebnis relativistisch gültig ist und Sie keine Faktoren von Gamma oder ähnlichem einführen müssen. Dafür gibt es einen kompakten Beweis (hier in einer Dimension):

Das gewünschte Ergebnis folgt aus Anwendung der Identität$dE/dp=v$.

Für eine ausführlichere Diskussion dieser Art von Dingen siehe Kap. 4 meines SR-Buches, http://lightandmatter.com/sr/ .

Um die 4D-Berechnung abzugleichen, benötigen Sie$(dE/dt,dp/dt)\cdot(dt,dx)$für infinitesimale 4-Verschiebung

Nehmen Sie die Einheiten wo$c=1$. Es ist besser zu betrachten$E=m\gamma$anstatt$E=m(\gamma-1)$obwohl es nur ein ständiger Wechsel ist. Die Minkowski-Norm$(E,p)\cdot (E,p)=E^2-p^2=m^2\gamma^2-m^2 v^2\gamma^2=m^2$eine Konstante ist, die statische Masse wie erwartet im Quadrat. Das Differential davon ist also identisch 0, was ergibt$0=2(dE/dt,dp/dt)\cdot(E,p)=2(E\;dE/dt-dp/dt\cdot p).$Sie kommen also an$dE/dt=dp/dt \cdot (p/E)=dp/dt\cdot dx/dt,$was im Einklang steht$(dE/dt,dp/dt)\cdot(dt,dx)=0$.