Restitutionskoeffizient

Ihre Definition ist falsch. Der Restitutionskoeffizient,$e$, ist nicht so definiert, wie Sie es angegeben haben. Lassen$u_1$,$u_2$,$v_1$, Und$v_2$seien die Anfangs- und Endgeschwindigkeiten von Objekten$a$Und$b$bzw.

Der Weg, sich den Restitutionskoeffizienten richtig zu merken, ist definiert als die Geschwindigkeit der Trennung dividiert durch die Geschwindigkeit der Annäherung. Alternativ können Sie sich daran erinnern, dass es das Negative der relativen Geschwindigkeiten ist.

$$e=\frac {v_2 - v_1}{u_1 -u_2}=-\frac {v_2 - v_1}{u_2 -u_1}$$

Es ist sehr wichtig zu beachten, dass Sie diese nicht als Vektoren schreiben können ($\vec u_1$usw). Wie bemjanim in den Kommentaren betonte, können Sie Vektoren nicht teilen. Stattdessen verwenden wir hier die Geschwindigkeiten, die die Komponenten der tatsächlichen Geschwindigkeiten entlang der Kraftlinie oder die frontalen Geschwindigkeitskomponenten der Kollision sind. Wenn Sie natürlich eine Kollision zwischen Punktobjekten in Betracht ziehen$ℝ^1$, alle Kollisionen sind frontal.

Es ist nützlich zu beachten, was Trennungsgeschwindigkeit und Annäherungsgeschwindigkeit tatsächlich bedeuten, da diese Begriffe etwas verwirrend sein können. Überprüfen Sie diese Frage für weitere Klarheit.

Als Randbemerkung sollte man vorsichtig sein, wenn man Wikipedia als Quelle für wissenschaftliche Formeln verwendet. Wenn Sie auf derselben Seite weiter nach unten scrollen, werden Sie außerdem sehen, dass die Ableitung dieser Formel durch Gleichsetzen der kinetischen Energien für einen elastischen Stoß erfolgt. Versuchen Sie, sich das selbst zu beweisen, indem Sie die Ableitung machen.

Hier scheint es einige Verwirrung darüber zu geben, wie man relative Geschwindigkeiten aus Vektorgrößen erhält.

Sie müssen die Geschwindigkeitsvektoren projizieren$\vec{v}_a$,$\vec{v}_b$entlang der Kontaktnormalenrichtung$\vec{n}$zum Umgangsrecht zu gelangen.

$$\left( \vec{n} \cdot \vec{v}_a - \vec{n} \cdot \vec{v}_b \right) = -\epsilon \left(\vec{n} \cdot \vec{u}_a - \vec{n} \cdot \vec{u}_b \right) \tag{1}$$

_{Hier$\vec{n}$muss ein Einheitsvektor sein .}

Wo$\epsilon$ist der Restitutionskoeffizient. Beachten Sie das negative Vorzeichen, das den auftretenden Sprung anzeigt , und dass die Folge a minus b auf beiden Seiten der Gleichung gleich auftritt.

Gleichung (1) wird oft auch als angegeben

$$\boxed{ \epsilon = - \frac{ \vec{n} \cdot \left( \vec{v}_a - \vec{v}_b \right) }{ \vec{n} \cdot \left( \vec{u}_a - \vec{u}_b \right) } = - \frac{v_{\rm rel}}{u_{\rm rel}} } \tag{2}$$

Wenn Sie sich also an Ihre Konventionen (Koordinatensystem) halten und das Minuszeichen dort beibehalten, funktioniert die Physik korrekt, unabhängig davon, welche Geschwindigkeit den größten Betrag hat.

Beim Lesen der Wikipedia-Seite Restitutionskoeffizient ist die gesuchte Größe das Verhältnis der Module der anfänglichen Relativgeschwindigkeit und der endgültigen Relativgeschwindigkeit, also unter Verwendung Ihrer Notation

$$e = \frac{|\vec{v}_a-\vec{v}_b|}{|\vec{u}_a-\vec{u}_b|}$$

Daher ist insbesondere der Restitutionskoeffizient immer eine positive dimensionslose Größe

• $e=0$für einen vollkommen unelastischen Stoß
• $e=1$für einen vollkommen elastischen Stoß,
• $0<e<1$für reale unelastische Kollisionen,
• $e>1$wenn bei der Kollision etwas (chemische) Energie freigesetzt wird, zB bei einer Explosion.

Ich denke, die von Ihnen geschriebene Formel muss korrigiert werden,

$$\boxed{Coefficient of restitution = -\displaystyle\frac {Relative \ velocity \ after\ collision}{Relative \ velocity\ before\ collision}}$$

Auch in der in Wikipedia angegebenen Formel ist diese Formel mit negativem Vorzeichen angegeben.