Rotierende Schwarze Löcher und nackte Singularität

Die Raumzeitgeometrie um ein rotierendes ungeladenes Schwarzes Loch wird durch die Kerr-Metrik beschrieben . Ich werde das unten geben, und es wird erschreckend aussehen, aber ertragen Sie mich, denn es gibt nur einen kleinen Teil der Gleichung, den wir brauchen, um zu sehen, warum der Horizont verschwindet. Wie auch immer, die Kerr-Metrik ist:

$$\begin{align} ds^2 &= -(1 - \frac{r_s r}{\rho^2})dt^2 \\ &+ \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2 \\ &+ \rho^2d\theta^2 \\ &+ (r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s r\alpha^2}{\rho^2}\sin^2\theta)\sin^2\theta d\phi^2 \\ &+ \frac{2r_sr\alpha\sin^2\theta}{\rho^2}dt d\phi \end{align}$$

Wo:

$$\begin{align} r_s &= 2M \\ \alpha &= \frac{J}{M} \\ \rho^2 &= r^2 + \alpha^2\cos^2\theta \\ \Delta &= r^2 - r_sr + \alpha^2 \end{align}$$

In der Gleichung$J$ist der Drehimpuls des Schwarzen Lochs,$r$ist die Entfernung vom Zentrum des Schwarzen Lochs,$\theta$ist der Breitengrad,$\phi$ist der Längengrad und$t$ist an der Zeit. Der zu berechnende Parameter$ds$ist die zurückgelegte Gesamtstrecke, wenn Sie sich um eine Strecke bewegen$dr$und Winkel$d\theta$Und$d\phi$in einer Zeit$dt$.

Nehmen wir nun an, wir bleiben in einem festen Winkel relativ zum Schwarzen Loch so$d\theta = d\phi = 0$, und wir messen die Entfernung entlang des Radius zum Zentrum des Schwarzen Lochs. Wir wählen eine feste Zeit$t$für die Messung, also$dt = 0$. Mit all diesen Einschränkungen vereinfacht sich die Metrik drastisch zu:

$$ds^2 = \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2$$

und das ist es, was wir brauchen, um das Verhalten des Horizonts zu verstehen, denn der Radius des Ereignishorizonts ist der Wert von$r$wofür der Wert von$ds^2$geht ins Unendliche. Das passiert wann$\Delta = 0$, denn dann erhalten wir eine Division durch Null. Um den Radius des Ereignishorizonts zu finden, müssen wir also nur die Gleichung lösen:

$$\Delta = r^2 - r_sr + \alpha^2 = 0$$

und das ist nur ein quadratisches in$r$, wie wir es alle in der Schule gelernt haben. Unter Verwendung der quadratischen Formel lautet die Lösung (gegeben durch die größere Wurzel):

$$r = \frac{r_s + \sqrt{r_s^2 - 4\alpha^2}}{2} \tag{1}$$

Und die Variation des Radius des Ereignishorizonts$r$mit$\alpha/r$sieht aus wie:

Beachten Sie, dass die Linie bei hält$r/r_s = 0.5$Und$\alpha/r_s = 0.5$. Die Linie endet hier, weil jenseits dieses Punktes die Gleichung (1) für$r$hat keine wirklichen Wurzeln, und das bedeutet, dass es keinen Ereignishorizont gibt. Aber denken Sie daran$\alpha$ist mit dem Drehimpuls verknüpft$J$von:

$$\alpha = \frac{J}{M}$$

Also für jeden Wert des Drehimpulses$J > M$Es gibt keinen Ereignishorizont, und deshalb verschwindet der Ereignishorizont, wenn Sie das Schwarze Loch zu schnell drehen.

Es gibt jedoch gute Gründe anzunehmen, dass sich ein Schwarzes Loch niemals so schnell drehen kann, und das Verschwinden des Ereignishorizonts ist nicht real, sondern eher ein Zeichen dafür, dass wir versucht haben, die Kerr-Metrik auf ein System anzuwenden, das physikalisch nicht existieren kann . Es gibt hier einen Artikel (160 KB PDF), der die Physik analysiert, und die Schlussfolgerungen sind, dass es physikalisch unmöglich ist, ein Schwarzes Loch so schnell zu drehen.

Das ergibt sich alles aus der Kerr-Metrik, die rotierende Schwarze Löcher beschreibt. Auf der Gleichung, wenn der Wert von Delta Null ist, finden wir den Radius

$$r_\pm=M\pm\sqrt{M^2-a^2}$$ Wo$a$ist der Drehimpuls. Wenn$a$ist weniger als$M$, entsteht ein Schwarzes Loch mit zwei Horizonten. Wenn$a$gleich$M$, führt dies zu einem extremen Kerr-Schwarzen Loch mit einem Ereignishorizont. Wenn$a$ist größer als$M$, ist der Radius der Gleichung eine imaginäre Zahl und wir haben also keinen Horizont, also eine nackte Singularität. Das meint er meiner Meinung nach mit dem Verschwinden des Horizonts.