Schwarzschild-Energie-Impuls-Tensor

Wenn Sie den metrischen Tensor kennen, können Sie den Ricci-Tensor und den Ricci-Skalar aus ihrer Definition berechnen und sie in Einsteins Feldgleichung einsetzen, um den Spannungs-Energie-Tensor zu erhalten.

$T_{\mu\nu} = \frac{c^4}{8\pi G}(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})$

Im Fall der Schwarzschild-Metrik handelt es sich um eine Lösung der Vakuum-Einstein-Gleichung, daher ist der Spannungs-Energie-Tensor überall dort, wo die Metrik definiert ist, null (z. B. außerhalb des kugelsymmetrischen massiven Körpers, der das Feld erzeugt).

NACHTRAG: Wenn Sie stattdessen die Metrik nicht kennen, ist das Problem viel komplizierter. Wenn Sie davon ausgehen:

• Der Körper ist kugelsymmetrisch
• aus isotroper perfekter Flüssigkeit
• im hydrostatischen Gleichgewicht

dann müssen Sie die Tolman-Oppenheimer-Volkoff- Gleichung lösen.

Wenn Sie wissen, dass in der Zustandsgleichung der Druck nur von der Dichte abhängt (z. B. in einem polytropen Gas), ist die Lösung vollständig bestimmt durch:

• Massengleichung:$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho$
• Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung
• Staatsgleichung$P=P(\rho)$

Sobald Sie dieses System von ODEs gelöst haben, haben Sie die Druck- und Dichteprofile$P(r)$Und$\rho(r)$. Sie können dann den Spannungs-Energie-Tensor des perfekten Fluids in dem Bezugssystem schreiben, in dem das Fluid stationär ist

$T^{\mu\nu} = diag(\rho,P,P,P)$

Leider gelten diese Annahmen nicht immer. Sie eignen sich gut zur Beschreibung kompakter entarteter Objekte wie Neutronensterne, aber nicht zur Beschreibung von Sternen, bei denen der Druckbeitrag, der durch die durch die Kernreaktionen freigesetzte Energie bereitgestellt wird, wesentlich ist.

Andererseits können Sterne und Planeten sehr gut als nichtrelativistische Objekte beschrieben werden. Eine klassische Behandlung kann die Dinge ein wenig vereinfachen oder enorm verkomplizieren, je nachdem, welchen Detaillierungsgrad Sie erreichen möchten. Sehen Sie sich die Sternstrukturgleichungen an , um einen Vorgeschmack auf dieses faszinierende Thema zu erhalten.

Ein letztes Wort zu Schwarzschild-Schwarzen Löchern, ihr Spannungs-Energie-Tensor ist sehr einfach. Wie bereits gesagt, ist sie außer in der Singularität überall null.

Der Spannungstensor$T^{\mu\nu}$überall in der Schwarzschild-Metrik null ist, außer an der Singularität.