Welchen Beweis gibt es dafür, dass der Schwerpunkt einer Scheibe in ihrem Mittelpunkt liegt, wenn das Gravitationsfeld nicht gleichmäßig ist, wie z. B. Objekte nahe am Rand der Scheibe oder innerhalb des Körpers der Scheibe liegen?
Tatsächlich ist der Schwerpunkt der einzige kritische Punkt, Symmetrie ist irrelevant. Am COM ist das Gravitationsfeld flach, dh Null G, also fällt COM mit COG zusammen. So ziemlich per Definition.
Die Frage bezieht sich auf G im Symmetriezentrum einer Scheibe, wenn es andere Objekte im System gibt. Da diese den COM verschieben, bewegt sich der 0g-Punkt von der Mitte der Disc selbst weg. Es gibt also keinen solchen Beweis. Es gibt nur das Integral von Gm1m2/r^2 der Delta-Massen über ihre Radien von jedem Punkt im System, aufgelöst für den Punkt, an dem das Integral 0 ist. Dies fällt nur mit dem geometrischen Mittelpunkt einer Scheibe oder Kugel zusammen (bzw jede symmetrische Form), wenn keine anderen massiven Objekte beteiligt sind.
Ich nehme hier einen allgemein relativistischen Standpunkt ein, da dies der allgemeinste Fall ist und weil er interessante Beobachtungsfolgen hat.
Die Idee des Schwerpunkts wird üblicherweise zur Berechnung des Gravitationsfeldes außerhalb kugelsymmetrischer Materieverteilungen verwendet. Dies setzt nicht voraus, dass das Feld gleichförmig ist. Insbesondere kann sie in Abhängigkeit vom Abstand vom Scheiben- oder Kugelmittelpunkt abnehmen.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie besagt der Satz von Birkhoff (vereinfacht ausgedrückt), dass das Gravitationsfeld außerhalb einer kugelsymmetrischen Materieverteilung nur eine Funktion der Gesamtmasse ist und nicht die Ausdehnung der Materie oder ihre Verteilung als Funktion der Entfernung von der Zentrum oder sogar als Funktion der Zeit!
Beachten Sie, dass dies eine kugelsymmetrische Materieverteilung voraussetzt. Er muss nämlich isotrop sein und wird aufgrund der Symmetrie also einen eindeutig definierten Mittelpunkt haben, der völlig analog zum Massenmittelpunkt ist. Außerdem wird davon ausgegangen, dass sich das Testteilchen außerhalb der Materieverteilung befindet. Darin befinden sich Korrekturen höherer Ordnung zum Gravitationsfeld.
Die physikalische Konsequenz ist, dass keine Messung nur des Gravitationsfeldes durchgeführt werden kann, um zwischen einer homogenen Kugel der Masse M, einem Punkt (alle im Zentrum der Kugel) und einer Gravitationsquelle derselben Masse (z. B. einem Schwarzen Loch) zu unterscheiden. oder ein radial schwingender Stern.
Dies alles setzt voraus, dass sich der Beobachter oder das Testteilchen in derselben Ebene wie das Gravitationsobjekt befindet. Bei einer 2D-Scheibe setzt dies dann voraus, dass sich das Testteilchen in der Scheibenebene befindet. Außerhalb dieser Ebene gilt das Theorem nicht. Sicherlich kann ein Teilchen, das sich zunächst in Richtung des Zentrums bewegt, aufgrund des anisotropen Gravitationsfelds die Scheibe am Ende vom Zentrum weg schneiden.
Für eine Kugel gilt die Bedingung, dass ein Körper in seinem Schwerpunkt durch einen Punkt ersetzt werden kann. Es gilt nicht für eine Disc. Wenn die Schwerkraft als Kehrwert der Entfernung abfallen würde, anstatt als Kehrwert des Entfernungsquadrats, würde sie für eine Scheibe gelten, zumindest in der Ebene der Scheibe.
Andreas
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