Sei A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,20,30,40,50}A={1,2,3,4,5,6,7,8 ,9,0,20,30,40,50}A= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,20,30,40,50\}. 1. Wie viele Teilmengen der Größe 2 gibt es? 2.Wie viele Teilmengen gibt es insgesamt?

Die Kommentare haben schon sehr schnell darauf hingewiesen, aber vielleicht kann ich eine Erklärung geben, warum sie funktionieren.

$1$) Der Kommentar von André Nicolas hat bereits beantwortet, dass es solche gibt$\binom{14}{2}$Teilmengen der Größe$2$. Diese Notation ist der Binomialkoeffizient . Das ist,

$$\begin{align}\binom{14}{2} &= \frac{14!}{(14-2)!2!}\\ &= \frac{14 \times 13 \times \color{red}{12} \times \color{red}{11} \times \color{red}{10} \times \color{red}9 \times \color{red}8 \times \color{red}7 \times \color{red}6 \times \color{red}5 \times \color{red}4 \times \color{red}3 \times \color{red}2 \times \color{red}1}{(\color{red}{12} \times \color{red}{11} \times \color{red}{10} \times \color{red}9 \times \color{red}8 \times \color{red}7 \times \color{red}6 \times \color{red}5 \times \color{red}4 \times \color{red}3 \times \color{red}2 \times \color{red}1)(2 \times 1)}\\ &=\frac{14 \times 13}{2}\\ &= 91. \end{align}$$ Das ist richtig, denn es gibt $14$Elemente in Ihrem Set, und wir möchten auswählen $2$von ihnen jedes Mal.

$2$) Der Kommentar von Ethan Hunt hat bereits beantwortet, dass es welche gibt$2^n$Teilmengen, einschließlich der leeren Menge und der gesamten Menge selbst. Um alle Teilmengen einer Menge zu finden, nehmen wir die Potenzmenge der Menge. Es ist leicht zu beweisen, dass die Kardinalität der Potenzmenge ist$2^n$, Wo$n$ist die Anzahl der Elemente der Menge. Also in Ihrem Fall gibt es$2^{14} = 16384$Teilmengen.

Die Gesamtzahl der Teilmengen der Größe$2$Ist$\binom{14}{2}$. Um dies zu verstehen, versuchen Sie zu sehen, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei unterschiedliche Elemente aus der Menge herauszusuchen.

Für den zweiten Teil, der die ähnliche Idee aus dem vorherigen Teil verwendet, gibt es$\frac{14}{k}$Teilmengen mit Größe$k$. Die Gesamtsumme beträgt also:

$$\sum_{n=0}^{14} \binom{14}{n} = \sum_{n=0}^{14} \binom{14}{n}(1)^{14-n}(1)^{n} = (1+1)^{14} = 2^{14}$$

wie Andre bemerkte, gibt es$\binom{14}{2}$Möglichkeiten, vierzehn Elemente auszuwählen, indem man zwei auswählt. wir nennen dies 14 wählen 2. es ist gleich$\frac{14!}{(12!)(2!)}$Weitere Informationen finden Sie unter Binomialkoeffizient

der zweite Teil. wird durch Aufsummieren erreicht$\binom{14}{n}$aus$n = 0$Zu$n = 14$. Es ist auch das Power-Set, siehe Power-Set , und es hat$2^{14}$Elemente.

Wie viele Teilmengen der Größe$2$gibt es?

Satz$A$hat$14$Elemente. Bei der Auswahl einer Teilmenge der Größe$2$, wir haben$14$Auswahlmöglichkeiten für das erste Element und$13$Wahlmöglichkeiten für das zweite Element. Auf den ersten Blick scheint es also so zu sein$14 \cdot 13$mögliche Teilmengen. Die Reihenfolge, in der die Elemente ausgewählt werden, spielt jedoch keine Rolle. Auswahl des Elements$1$und dann das Element$2$führt zur gleichen Teilmenge wie die Auswahl des Elements$2$und dann das Element$1$seit$\{1, 2\} = \{2, 1\}$. Division durch die$2! = 2$Ordnungen, in denen zwei Elemente ausgewählt werden können, ergibt

$$\frac{14 \cdot 13}{2}$$ Teilmengen mit zwei Elementen.

Im Allgemeinen, wenn wir eine Teilmenge von bilden möchten$k$Elemente aus einer Reihe von$n$Elemente, wir haben$n$Auswahlmöglichkeiten für das erste Element,$n - 1$Wahlmöglichkeiten für das zweite Element,$n - 2$Wahlmöglichkeiten für das dritte Element und so weiter, bis wir übrig sind$n - (k - 1) = n - k + 1$Wahlmöglichkeiten für die$k$tes Element. Daher gibt es

$$n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)$$ Möglichkeiten, eine geordnete Auswahl zu treffen $k$Elemente. Allerdings gleich $k$Elemente in der Teilmenge können ausgewählt werden $$k(k - 1)(k - 2) \cdots 1 = k!$$ Aufträge. Somit ist die Anzahl der Teilmengen von Größe $k$mit denen wir aus einer Menge auswählen können $n$Elemente ist $$\frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1)(k - 2) \cdots 1} = \frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)}{k!}$$ Zähler und Nenner multiplizieren mit $(n - k)!$Erträge $$\frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)(n - k)!}{k!(n - k)!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$ Die Nummer $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$ ist die Anzahl der Teilmengen von $k$Elemente, die aus einer Menge mit ausgewählt werden können $n$Elemente.

Daher die Anzahl der Teilmengen von set$A$Ist

$$\binom{14}{2} = \frac{14!}{2!12!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{2 \cdot 1 \cdot 12!} = \frac{14 \cdot 13}{2} = 91$$ wie Andre Nicolas und andere angedeutet haben.

Wie viele Teilmengen gibt es insgesamt?

Eine Teilmenge einer Menge$S$mit$n$Elemente wird dadurch bestimmt, welche Elemente es enthält. Bei der Bildung einer Teilmenge haben wir zwei Möglichkeiten für jede der$n$Elemente, um das Element in die Teilmenge aufzunehmen oder nicht in die Teilmenge aufzunehmen. Daher ein Satz$S$mit$n$Elemente hat$2^n$Teilmengen.

Seit eingestellt$A$hat$14$Elemente, es hat$2^{14}$Teilmengen.

Es wäre zwar unpraktisch, alle aufzulisten$2^{14} = 16,384$Teilmengen von Menge$A$, können wir überprüfen, ob der Satz$\{1, 2, 3\}$hat$2^3 = 8$Teilmengen. Sie sind

$$\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}$$