Sind die Hypothesen der Bernoulli-Gleichung für einen Vogel- oder Flugzeugflügel bei niedriger Machzahl erfüllt?

Zuerst die Äquivalenz der Bernoulli-Gleichung zur Erhaltung des Impulses:

Es gibt (mindestens) drei populäre Erklärungen für den Auftrieb an einem Tragflügel:

1. Schnellere Luft oben hat einen geringeren statischen Druck als sich langsam bewegende Luft unten. Die resultierende Druckdifferenz multipliziert mit der Fläche ergibt den Auftrieb.

2. Das Tragflächenprofil lenkt die Luft nach unten ab und nach Newtons 3. Gesetz wird eine gleiche und entgegengesetzte Kraft (Auftrieb) auf den Flügel ausgeübt.

3. Die gebundene Zirkulation auf dem Flügel erzeugt Auftrieb aufgrund des Kutta--Joukowski-Theorems.

Alle drei sind gleichwertig .

Die Bernoulli-Gleichung wird aus der Impulserhaltung (Navier-Stokes-Gleichungen) unter der Annahme abgeleitet, dass die Geschwindigkeit eine Potentialfunktion hat. Das Bernoulli-Prinzip ist lediglich der Mechanismus für die gleiche und entgegengesetzte Kraft, die in Erklärung Nr. 2 auf den Flügel ausgeübt wird.

Eine Zirkulation ist erforderlich, damit die Luft nach unten abgelenkt wird. Ohne Zirkulation würde die Strömung an der Hinterkante nicht glatt austreten. Die gebundene Zirkulation ist das Ergebnis von Grenzschichten, die sich auf der Ober- und Unterseite bilden. (Auch ein Ergebnis der Impulserhaltung)

Um eine anständige Schätzung der Auftriebskurve eines Tragflügels bei kleinen Anstellwinkeln zu erhalten, werden Panelmethoden verwendet, um die Tangentialgeschwindigkeit an der Oberfläche eines Tragflügels zu lösen. Diese Tangentialgeschwindigkeit wird dann in die Bernoulli-Gleichung eingegeben, um die Drücke zu erhalten. Durch Integrieren des Drucks über die Oberfläche des Schaufelblatts können wir den Auftrieb finden.

Diese Panel-Methoden sind nicht viskos, fügen aber genau die richtige Menge an Zirkulation hinzu, um eine realistische Lösung zu erhalten. (Erfüllung der Kutta-Bedingung)

Während alle drei obigen Erklärungen gültig sind, formulieren sie nur die unerfüllende Erklärung des Grundes für den Auftrieb um: Erhaltung des Momentums.

Anwendungsbereich der Bernoulli-Gleichung

Die inkompressible Version der Bernoulli-Gleichung,$1/2 \mathbf{U}\cdot\mathbf{U} + p/\rho = const$, ist gültig:

• entlang von Stromlinien
• entlang von Wirbellinien (Linien parallel zu$\omega = \nabla \times \mathbf{U}$)
• und überall in drehungsfreier Strömung ($\omega = 0$)

(Einzelheiten siehe Kapitel 2 von Viscous Fluid Flows von Frank M. White)

Bei Flugzeugen können Sie eine Stromlinie weit vor dem Flugzeug in eine Region verfolgen, in der$\mathbf{U} = const$und daher$\omega = 0$. Dies bedeutet, dass die$const$in der Bernoulli-Gleichung ist überall gleich und die Gleichung kann verwendet werden, um Drücke überall auf der Oberfläche des Flügels zu finden.

In der Praxis werden die Geschwindigkeiten bei Verwendung der Bernoulli-Gleichung durch Panel-Methoden ermittelt . (Wenn Sie eine viskose Simulation durchführen, berechnen Sie die Drücke wahrscheinlich direkt, ohne die Bernoulli-Gleichung zu verwenden.) Die Geschwindigkeiten aus der Panelmethode sind analog zur Kantengeschwindigkeit an der Oberseite der Grenzschicht nahe der Oberfläche. Jedes gute Buch über viskose Strömungen zeigt dies für Grenzschichten$dp/dy \approx 0$, Wo$y$senkrecht zur Oberfläche orientiert ist. Dies gilt auch für kompressible Strömungen bis ca$M \approx 5$.

Diese Methode, die Bernoulli-Gleichung zu verwenden, um die Drücke (und damit auch die Kräfte) über der Oberfläche zu ermitteln, ist in vielen Fällen eine gute Annäherung. Wenn die Ergebnisse nicht genau sind, liegt dies typischerweise an ungenauen Geschwindigkeitsinformationen. Zum Beispiel sind Panel-Methoden aufgrund ihrer reibungsfreien Natur nicht sehr gut geeignet, um eine abgelöste Strömung, wie beispielsweise ein Strömungsprofil, bei einem hohen Anstellwinkel zu beschreiben.

Komprimierbar vs. Inkompressibel

$M < 0.3$da die Grenze der inkompressiblen Strömung viel herumgeworfen wird, aber normalerweise ohne Begründung. Betrachten Sie ruhendes Gas mit Dichte$\rho_0$die dann isentrop auf die Machzahl beschleunigt wird$M$. Die Dichte des Gases ändert sich in diesem neuen Zustand und ist gegeben durch:

Wie sich herausstellt, in der Luft$M \approx 0.3 \rightarrow \rho_0/\rho = 0.95$und für praktische Zwecke wird dann angenommen, dass bei einer Änderung der Dichte um nicht mehr als 5 % von einer inkompressiblen Strömung ausgegangen werden kann.

Sie haben Recht, dass es komprimierbare Versionen der Bernoulli-Gleichung gibt. Die Ergebnisse der Berechnungen unter Verwendung der kompressiblen Gleichung sollten eine gute Annäherung sein, solange die eingegebenen Geschwindigkeiten genau sind und die Stromlinien in den freien Strom (dh nicht abgelöste Strömung) verfolgt werden können.

Das Bernoulli-Prinzip im Gegensatz zu etwas anderem zu sehen, ist nicht richtig. Das Prinzip von Bernoulli kann als Grund für etwas anderes angesehen werden .

Schauen Sie sich die Erklärung von John Denker an . Es ist das Beste, was ich je gesehen habe.

Die kurze Antwort lautet, dass die für die Bernoulli-Gleichung angenommenen Hypothesen für Flugzeuge nicht erfüllt sind. (Ich kann nicht für Vögel sprechen, da ich das nicht im Detail studiert habe.) Insbesondere

• Die Luft ist nicht inkompressibel und
• Energie ist nicht konstant – die Triebwerke des Flugzeugs fügen dem Luftstrom Energie hinzu

Trotzdem ist es "nah genug für die Ingenieure" - die Bernoulli-Gleichung ist in der Praxis so genau, dass sie als Teil der Berechnung des Auftriebs verwendet werden kann. Ich denke also, dass Ihre Option (1) die richtige Wahl ist (leicht umformuliert):

Die Gleichung liefert ein ungefähr korrektes Ergebnis für die Nettokraft auf den Flügel, sobald Sie die Geschwindigkeit der Luft in der Nähe des Flügels kennen, aber es gibt keine offensichtliche, einfache Möglichkeit, diese Geschwindigkeiten zu berechnen.

Huebner und Jagannathan haben dieses Problem in einem Brief an das American Journal of Physics angesprochen („Explaining airfoil lift in introductory physics“ http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/56/9/10.1119/1.15757 ). Hier ein Auszug:

Unsere Einwände gegen die Verwendung der Bernoulli-Gleichung zur Erklärung des Tragflügelauftriebs in einführenden Physiktexten bestehen darin, dass sie ein schlechtes Beispiel darstellt, wenn es darum geht, den Schülern zu veranschaulichen, dass es in Ordnung ist (vielleicht sogar gute Physik), eine Gleichung auf eine Situation anzuwenden, in der dies der Fall ist die bei der Ableitung der Gleichung angenommenen Bedingungen verletzen und dass dies nicht zu einem klaren Verständnis darüber führt, wie Tragflügel Auftrieb erzeugen.

Fazit ist, dass die Bernoulli-Gleichung als Teil einer langen Reihe von Berechnungen verwendet werden kann, um den Auftrieb an einem Flügel vorherzusagen, und diese Vorhersagen sind genau, aber die Bernoulli-Gleichung erklärt nicht wirklich die zugrunde liegende Physik.

Das Prinzip der Bernoulli-Gleichung basiert meines Erachtens auf der intuitiven Verarbeitung von Beobachtung und Mathematik. Die Beobachtung in diesem Fall ist, dass Luft vollständig aus Molekülen besteht, bei denen es sich um kleine, genau definierte starre Körper handelt, die sich jeweils nur in eine Richtung bewegen können. Wenn ein Molekül auf etwas trifft, erzeugt diese Kollision Druck. Von da an wird die Mathematik die Arbeit erledigen, denn ein Molekül zu sehen bedeutet nicht, ein Modell zu erstellen, sondern eine Beobachtung zu machen.

Ein einfaches Gedankenexperiment erklärt es: Wenn ein einzelnes Molekül mit fester Geschwindigkeit senkrecht auf eine Oberfläche trifft, überträgt es mehr Energie, als wenn es in einem anderen Winkel auf diese Oberfläche trifft. Wenn Sie diese Oberfläche relativ zum Molekül bewegen, wird dieser Winkel verringert, wodurch der Druck auf die Oberfläche verringert wird. Anders wäre es, wenn man einfach den Vektor der Oberfläche zu dem des Moleküls addieren könnte, aber die Tatsache, dass das nicht möglich ist, bewirkt die Äquivalenz zwischen statischem Druck und dynamischem Druck.

Was es schwierig macht, vorherzusagen, was passiert, wenn man sich der Schallgeschwindigkeit nähert, ist, dass es keine eindeutige Erklärung für diese Geschwindigkeit gibt. Es gibt Konstanten, aber was sie zu dieser Konstante macht, bleibt ungeklärt. Wenn diese Konstanten daher nahe der Übergangsgeschwindigkeit zu versagen beginnen, bieten sie keine Referenz für die Berechnung.

Folglich gilt die Basis des Bernoulli-Gleichungsprinzips immer, aber das Prinzip selbst gilt nur für alle Situationen, in denen der Phasenübergang kein signifikanter Faktor ist.

Insofern verbergen die Formeln die Fakten. Die meisten Menschen wissen einfach nicht, wie sie sich damit abfinden sollen, dass bei einem katastrophalen Hurrikan der Kategorie 5 tatsächlich viel weniger Druck im Spiel ist als an einem windstillen, sonnigen Sommertag. Es ist einfach zu weit weg, also kann es nicht wahr sein.