Sind Energie und Impuls für EM-Wellen trennbar?

Die Energiedichte in einem elektromagnetischen Feld ist gegeben durch

$$u = \frac{1}{2}\left( \epsilon E^2 + \frac{B^2}{\mu} \right)$$

Der von den elektromagnetischen Feldern getragene Impuls wird aus dem Poynting-Vektor abgeleitet, der die Leistung pro Flächeneinheit darstellt.

$$\vec{N} = \frac{1}{\mu} ( \vec{E} \times \vec{B} )$$

Der Impuls pro Flächeneinheit pro Zeiteinheit ist einfach der Poynting-Vektor dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit.

Der Satz von Poynting sagt uns, dass die Divergenz von$\vec{N}$ist gleich der Arbeit, die von den EM-Feldern (an Ladungen) verrichtet wird, plus der Änderungsrate der Energiedichte.

Nun, was meinst du mit "Energie tragen". Wenn Sie meinen, es von einem Ort zum anderen zu bringen, dann erfordert dies einen Poynting-Vektor ungleich Null mit einer Divergenz ungleich Null, und dieser hat einen Impulsfluss ungleich Null.

Wenn Sie jedoch meinen, dass die EM-Felder Energie speichern können , ohne dass es zu einem Impulsfluss kommt, dann lautet die Antwort ja. Sorgen Sie einfach dafür, dass der Netto-Poynting-Vektor Null ist, aber mit E- und/oder B-Feldern ungleich Null.

Dies ist sogar für EM-Wellen möglich, wenn Sie eine stehende Welle bilden. Der zeitlich gemittelte Poynting-Vektor wäre Null, aber es gäbe eine Energiedichte ungleich Null.

z.B

$$\vec{E} = E_0 \cos(kz)\cos(\omega t)\ \vec{x}$$ $$\vec{B} = \frac{E_0}{c} \sin(kz) \sin(\omega t)\ \vec{y}$$ ist eine stehende Welle, die durch zwei ebene Wellen gleicher Amplitude gebildet wird, die sich entlang der z-Achse in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten.

Die Nettoenergiedichte (nehmen wir Vakuum an, also$\epsilon = \epsilon_0$,$\mu=\mu_0$Und$c^2 = (\mu_0 \epsilon_0)^{-1}$) ist gegeben durch

$$u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^{2} (\cos^2(kz)\cos^2(\omega t) + \sin^2(kz) \sin^2(\omega t))$$

Nehmen Sie den Zeitdurchschnitt und notieren Sie das$\cos^2(kz)+\sin^2(kz)=1$, wir bekommen

$$\bar{u} = \frac{\epsilon_0 E_0{^2}}{4},$$ was nicht Null und unabhängig von ist $z$.

Auf der anderen Seite ist der Poynting-Vektor

$$\vec{N} = \frac{1}{\mu_0}\cos(kz)\sin(kz)\cos(\omega t)\sin(\omega t)\ \vec{z}$$ $$\vec{N} = \frac{E_0^{2}}{4\mu_0 c}\sin(2kz) \sin(2 \omega t)\ \vec{z}$$

Aber der Zeitdurchschnitt davon ist Null.