Bleibt mechanische Energie erhalten, wenn Ladungen beschleunigt werden?

Berechnen Sie zunächst die Beschleunigung der Teilchen aufgrund des elektrostatischen Effekts unter der Annahme, dass der Strahlungseffekt vernachlässigbar ist. Die von Ihnen beschriebene Methode ist angemessen. Oder berechnen Sie einfach die Kraft auf sie aus dem elektrischen Feld und teilen Sie sie durch ihre Masse.

Berechnen Sie dann, wie viel Strahlung dies erzeugen würde, vorausgesetzt, es ändert ihre Beschleunigung nicht wesentlich.

Vergleichen Sie nun diese Strahlungsenergie mit den Termen der elektrostatischen potentiellen Energie und der kinetischen Energie aus Ihrer ursprünglichen Lösung.

Wenn es vernachlässigbar ist, sind Sie fertig. Die elektrostatische Lösung ist nahe genug. (Die Definition von „vernachlässigbar“ und „nah genug“ kann davon abhängen, wie Sie die Ergebnisse dieser Berechnung verwenden möchten).

Wenn die Strahlungsenergie nicht vernachlässigbar ist, müssen Sie wahrscheinlich eine numerische Simulation verwenden, um eine nähere Annäherung an die wahre Antwort zu erhalten.

Das Coulombsche Gesetz sagt uns nämlich, dass jeder eine Kraft erfährt, deren Größe:

$$F(t)=\frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{d^2(t)}$$

Das ist genau falsch! :) Wie Sie sich erinnern, ist das Coulombsche Gesetz ein Gesetz, das auf eine elektrostatische Situation anwendbar ist. Wenn sich die Ladungen bewegen dürfen, haben wir eine offenkundig dynamische Situation und man kann das Coulombsche Gesetz nicht anwenden. Man müsste die vollständigen Maxwell-Gleichungen verwenden, um die elektrischen und magnetischen Felder aufzulösen, die von einer Ladung an der Position der anderen Ladung erzeugt werden, und dann das Lorentz-Kraftgesetz anwenden, um letztendlich die Kraft zu finden, die von jeder der Ladungen erfahren wird.

Man kann die elektrischen und magnetischen Felder finden, die von einem sich allgemein bewegenden Ladungsteilchen erzeugt werden, indem man zum Beispiel das Liénard-Wiechert-Potential verwendet . Sie würden jedoch ein ziemlich gekoppeltes System von Differentialgleichungen erhalten, da sich jede der Ladungen bewegt und eine Kraft auf das andere Teilchen erzeugen würde, die durch das Liénard-Wiechert-Potential gegeben ist, das die Geschwindigkeit und Position der Quelle im Ruhestand erfordert Zeit. Ich nehme an, Sie müssen es numerisch lösen.

Die Ladungen beschleunigen sich, und daher findet Strahlung statt.

Das ist genau richtig. Die Gesamtenergie des Systems würde offensichtlich erhalten bleiben, aber ein Teil dieser Energie wäre in Form von Strahlung, die sich ins Unendliche ausbreitet und daher nicht als Beitrag zur potentiellen Energie zwischen den beiden Teilchen angesehen werden kann. Also, ja, man kann die Erhaltung der mechanischen Energie in dieser Situation nicht verwenden, aber die Energieerhaltung gilt immer noch. Mit anderen Worten,

$$\int dV \bigg( \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2\bigg)+\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2$$ würde immer noch erhalten bleiben (unter der Annahme einer nicht-relativistischen Geschwindigkeit für Teilchen). Nur dass ein Teil dieser Energie im Feld in Form von Strahlung vorliegt. Sie können dies nicht wirklich effektiv nutzen, da Sie es lösen müssten$E$Und$B$Verwenden der vollständigen dynamischen Maschinerie der Maxwell-Gleichungen, um das Integral tatsächlich zu berechnen.

Schließlich @ThePhotonkönnen Sie, wie bereits erwähnt, eine ungefähre Berechnung durchführen, solange Ihre Schätzung, wie viel Energie durch Strahlung verloren gehen würde, im Vergleich zur gesamten mechanischen Energie im Ausgangszustand gering ist.

Mechanische Energie wird nicht konserviert, dieses System hat eine elektromagnetische Wechselwirkung, so dass ein Teil der Energie elektromagnetisch ist.

Die Ladungen beschleunigen sich, und daher findet Strahlung statt. Dies bedeutet, dass es ein zeitvariables elektrisches Feld gibt, das ein zeitvariables Magnetfeld erzeugt, das wiederum ein zeitvariables elektrisches Feld erzeugt, und so weiter.

Sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld sind zeitabhängig, aber das bedeutet nicht, dass das eine das andere erzeugt. In der einfachsten Variante dieses Aufbaus (Felder sind durch verzögerte Lösung gegeben) sind beide Felder (unterschiedliche) Funktionen der vergangenen Bewegung der Teilchen.

Diese Beiträge zum elektrischen Feld sind nicht konservativ, da sie sich nicht null kräuseln. Dies würde bedeuten, dass es keinen Sinn macht, an elektrische potentielle Energie zu denken, da das elektrische Feld in diesem Fall nicht elektrostatisch und daher nicht konservativ wäre (was dazu führt, dass die Idee eines "elektrischen Potentials" Unsinn ist).

Festhalten. Es ist wahr, dass das gesamte elektrische Feld nicht konservativ ist. Aber das Konzept der elektrischen potentiellen Energie ist immer noch gültig, weil das elektrische Feld einen leicht zu bestimmenden Coulomb-Anteil hat. Die Coulomb-Energie gibt im Allgemeinen nicht genau die gesamte EM-Energie an, aber das Konzept kann trotzdem verwendet werden. Es gibt nur andere Beiträge, wie magnetische Energie und den anderen Teil der elektrischen Energie, der nicht in der Coulomb-Energie enthalten ist.

Was ist denn los? Bleibt mechanische Energie erhalten? Wenn ja, wie ist es möglich, dass die Felder nicht konservativ sind?

Die anfängliche EM-Energie, die durch die Coulomb-Formel gegeben ist, wird kontinuierlich in kinetische Energie von Teilchen und andere nicht-coulombische EM-Energie umgewandelt. Ein Teil dieser EM-Energie geht unvermeidlich an die Umgebung (Wellen bis ins Unendliche).