So klassifizieren Sie Gleichgewichtspunkte [geschlossen]

Ich habe die beiden Differentialgleichungen:

D N 1 D T = N 1 ( 2 − N 1 − 2 N 2 )
D N 2 D T = N 2 ( 3 − N 2 − 3 N 1 ) .

Ich arbeitete die Gleichgewichtspunkte aus, an denen ich sein sollte N 1 = 0 , 4 5 Und N 2 = 0 , 3 5 . Ich habe dann alle Jacobi-Matrizen berechnet und die Eigenwerte (und Eigenvektoren) ausgearbeitet. Diese Gleichgewichte muss ich nun klassifizieren. Wie mache ich das? Gibt es eine Reihe von Regeln, denen ich folge, um sie zu klassifizieren?

Außerdem heißt es im nächsten Teil:

Skizzieren Sie das Phasenporträt dieses Systems im biologisch sensiblen Bereich: Zeichnen Sie die Nullklinien des Systems und bestimmen Sie die groben Richtungen der Trajektorien in Teilen der Phasenebene, die von den Nullklinien geschnitten werden, bezeichnen Sie die Gleichgewichte in der Phasenebene und Skizzieren Sie einige typische Trajektorien.

Ich kann die Null-Clines machen und ich denke, sobald ich die Stabilität der Gleichgewichte herausgefunden habe, kann ich die Richtungen der Trajektorien der durch die Null-Cline geschnittenen Bits bestimmen, aber wie würde ich die Trajektorien der Gleichgewichte skizzieren?

Die grundlegende Frage hier ist Mathematik, nicht Biologie, auch wenn sie als biologisches System dargestellt wurde. Vielleicht hast du mehr Glück bei Mathe SE.

Antworten (1)

Die Klassifizierung der Gleichgewichtspunkte erfolgt auf der Grundlage der Eigenwerte.

  • Wenn die beiden Eigenwerte keine Realteile haben, ist es ein hyperbolischer Fixpunkt und stellt eine ungedämpfte Schwingung dar.
  • Haben beide einen negativen Realteil, handelt es sich um einen stabilen Fixpunkt. Wenn einer der Eigenwerte einen Imaginärteil hat, stellt er gedämpfte Schwingungen dar (in diesem Fall wird der Gleichgewichtspunkt als Fokus bezeichnet).
  • Wenn einer oder beide Eigenwerte einen positiven Realteil haben, handelt es sich um einen instabilen Fixpunkt.
  • Hat ein Eigenwert einen positiven Realteil und der andere einen negativen Realteil, handelt es sich um einen Sattelpunkt.*

Sie skizzieren die Trajektorien der Gleichgewichte, indem Sie in einer winzigen Entfernung von dem Punkt (wo es nicht im Gleichgewicht ist) beginnen und das Köcherdiagramm verfolgen. Das Zeichnen von Trajektorien um instabile Punkte ist schwierig und Sie müssen die Funktion in negativer Zeit zeichnen, dh anstatt f(x1,x2,t) zu zeichnen, zeichnen Sie -f(x1,x2,t). Diese Seite enthält repräsentative Trajektorien für die verschiedenen Arten von Gleichgewichtspunkten. Diese Seite enthält eine gründlichere Erklärung, verallgemeinert auf mehrere Dimensionen.

*Diese Klassifizierung scheint auf der Grundlage der beiden Links, die ich gefunden habe, leicht variabel zu sein (mehr oder weniger Kategorien). Ich denke, die, die ich aufführe, ist die einfachste Version, aber jede Klassifizierung sollte ausreichen. Sie basieren alle auf den gleichen Prinzipien. Sie können auf einige Bücher über nichtlineare Dynamik verweisen:

  • Nichtlineare Systeme von Hassan Khalil
  • Nichtlineare Dynamik und Chaos von Steven Strogatz
@WYSIWYG hat die Referenzen und einige zusätzliche Informationen hinzugefügt - ich möchte die Empfehlung für Strogatz 'Buch unterstützen.
ja.. es ist so einfach und bequem zu lesen..
So klassifizieren Sie Gleichgewichtspunkte [geschlossen]
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