Standardmodell: Problem mit Massen von Elementarteilchen?

In seinem Buch „Modern Particle Physics“ erklärt Mark Thomson zwei Probleme mit Massen von Elementarteilchen in der SM:

(i) Wenn wir den QED-Lagrange nehmen$\mathcal L = \bar{\psi}\left( i\gamma^{\mu}D_{\mu} - m\right)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$, Wo$D_{\mu} = \partial_{\mu} + iqA_{\mu}$ist die kovariante Ableitung. Einführung eines Massenbegriffs der Form$\frac{1}{2}m^2_{\gamma}A_{\mu}A^{\mu}$würde die geforderte Invarianz unterbrechen$U(1)$. Das verstehe ich soweit.

(ii) Auf Seite 469, in Kapitel 17.4, schreibt er:

Das Problem mit Teilchenmassen ist nicht auf die Eichbosonen beschränkt. Schreibe das Spinorfeld des Elektrons als$\psi = e$, kann der Elektronenmassenterm im QED-Lagrangian in Bezug auf die chiralen Teilchenzustände geschrieben werden als

$$-m_{e}\bar{e}e = -m_{e}\bar{e}\left[ \frac{1}{2}\left( 1-\gamma^{5}\right) + \frac{1}{2}\left( 1+\gamma^{5}\right) \right]e$$

Kurzer Kommentar von meiner Seite: Auf Seite 142 schrieb er Folgendes:

[...] jeden Spinor$u$kann mit in links- und rechtshändige chirale Komponenten zerlegt werden

$$u = \frac{1}{2}\left( 1+\gamma^{5}\right)u + \frac{1}{2}\left( 1-\gamma^{5}\right)u.$$

Okay, weiter mit der Berechnung auf S. 469:

$$-m_{e}\bar{e}e = [...] = -m_{e}\bar{e}\left[ \frac{1}{2}\left( 1-\gamma^{5}\right)e_{L} + \frac{1}{2}\left( 1+\gamma^{5}\right)e_{R} \right] = -m_{e}\left( \bar{e}_{R}e_{L} + \bar{e}_{L}e_{R} \right) \quad (17.16)$$ In der SU(2)$_{L}$Eichtransformation der schwachen Wechselwirkung, linkshändige Teilchen verwandeln sich in schwache Isospin-Dubletts und rechtshändige Teilchen in Singuletts, und damit den Massenterm von$(17.16)$bricht die erforderliche Eichinvarianz.

Frage:

Wie können wir seinen letzten Satz verstehen?