Strenge allgemeine mathematische Definition des Luftwiderstands

Der Widerstand einer Flüssigkeit, der auf ein Objekt im Inneren wirkt, ist der Impulsfluss durch die Begrenzung des Objekts. Der Impulserhaltungssatz ist der gesamte Inhalt der Navier-Stokes-Gleichung, die in integraler Form geschrieben werden kann:

$${\partial\over \partial t} \int_R \rho v^i = - \int_{\partial R} \rho v^i v\cdot \hat{n} + \int_{\partial R} (P \hat{n} + \nu(\rho) \nabla v^i )\cdot \hat{n}$$

Wo$\hat{n}$ist die Normale zur Grenze von$R$,$P$ist der Druck,$\nu$ist die Viskosität (als Funktion der Dichte$\rho$) und v die Geschwindigkeit ist. Die linke Seite besagt, dass Sie den Fluss der gesamten i-Komponente des Impulses aus dem Bereich R heraus betrachten. Der erste Term auf der rechten Seite ist die physikalische Menge des Impulses, der durch die Strömung des Fluids aus der Grenze von R herausfließt. Der letzte Term ist der Impulsfluss durch den Rand von R aufgrund von Kräften am Rand.

Mit dem Divergenzsatz lernt man das

$$\int_R {\partial\over\partial t} (\rho v^i) + \partial_j(\rho v^i v^j) - \partial_i P - \nabla\cdot(\nu \nabla v^i ) d^dx = 0$$

Und Sie schließen daraus, dass die NS-Gleichungen erfüllt sind.

$${\partial\over\partial t} (\rho v^i) + \partial_j(\rho v^i v^j) - \partial_i P -\nabla \cdot (\nu \nabla v^i)$$

Wenn Sie dies erweitern und die Kontinuitätsgleichung verwenden, werden Sie die Standardformen wiedererlangen, aber dies ist die Form, in der es am transparentesten eine Kontinuitätsgleichung für den Impulsfluss ist.

Sie sehen also, dass der Fluss der i-Komponente des Impulses in einen beliebigen Bereich R aufgrund des Fluids, der die i-te Komponente der Kraft darstellt, die das Fluid auf alles innerhalb von R ausübt, durch das Grenzintegral gegeben ist

$$F^i_R = - \int_{\partial R} \rho v^i v\cdot \hat{n} + \int_{\partial R} (P\hat{n} + \nu \nabla v^i) \cdot \hat{n}$$

Für den Fall, dass Sie ein festes Objekt haben, das die Flüssigkeit nicht durchdringen kann, ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Oberfläche des Objekts und der erste Term ist Null (offensichtlich - der erste Term beschreibt den mit der Flüssigkeit mitgeführten Impuls, und dies ist nicht der Fall Eingabe von R).

Der Widerstand ist also das Integral zweier Terme über die Oberfläche, der Druck über das Objekt, der angibt, wie stark das Objekt drückt, um das Wasser herumzubewegen, und der Geschwindigkeitsgradient, der beschreibt, wie die Viskosität das Wasser zieht Objekt. Bei einem sich bewegenden Objekt zeigt dies sofort an, wie viel Impuls in das Objekt eintritt oder es verlässt, was die augenblickliche Widerstandskraft ist.

Betrachten Sie zunächst die laminare Strömung und dann die Grenzschicht der Flüssigkeit in der Nähe der Feststoffe. Für einfache Fälle verwenden Sie den inkompressiblen Navier-Stokes, um das Kräftegleichgewicht zu finden, das Ihre Widerstandskraft ergibt. Typischerweise wird dies durch CFD-Software (Computational Fluid Dynamics) durchgeführt.

Ich bezweifle, dass Sie Ihr Problem von Hand lösen können, da dies nur für die einfachsten Fälle möglich ist, in denen die Flusslinien parallel zur Geometrie verlaufen und eine Integration möglich ist.