Taylorentwicklung übersetzter Felder

Betrachten Sie ein Skalarfeld,$\phi$. Wenn wir die aktive Transformation vornehmen,$x^\mu \to x^\mu-\epsilon^\mu$Die Änderung im Skalarfeld ist infinitesimal gegeben durch

$$\phi \to \phi + \epsilon^\mu\partial_\mu \phi + \mathcal{O}(\epsilon^2)$$

In expliziterer Notation können wir schreiben,

$$\phi\to \phi + \epsilon^0 \frac{\partial \phi}{\partial t}+\epsilon^1 \frac{\partial \phi}{\partial x}+\epsilon^2 \frac{\partial \phi}{\partial y}+\epsilon^3 \frac{\partial \phi}{\partial z}$$

Notiz$\epsilon^\mu$ist einfach die Größe der Übersetzung in der$\mu$te Richtung. Für ein$1$-Form wie$A_\nu$, nehmen wir einfach einen zusätzlichen Index für das Feld in unserer Erweiterung auf. Das Obige ist einfach ein höherdimensionales Analogon der üblichen Taylor-Entwicklung. Um dies klar zu sehen, beachten Sie,

$$f(x+h)= f(x)+hf'(x)+\frac{1}{2}h^2f''(x)+\mathcal{O}(h^3)$$

In der Quantenfeldtheorie tritt ein Feld an die Stelle von$f$, Und$h$wird zu einem Vektor, in welchem ​​Fall wir Ableitungen, wie gezeigt, in Bezug auf jede Koordinate aufnehmen.