Was bestimmt, ob die dynamischen Gleichungen Tensorgleichungen oder Vektorgleichungen sind?

Newtons 2. Gesetz, das für die Newtonsche Dynamik von zentraler Bedeutung ist, ist eine Vektorgleichung

∑ F e X T e R N A l = M A

Dasselbe gilt für die Maxwell-Gleichungen in der kovarianten Form.

Andererseits wird die allgemeine Relativitätstheorie durch die Tensorgleichung bestimmt

R μ v − 1 2 R   G μ v = 8 π G C 4 T μ v

Meine Fragen sind:

  1. Gibt es einen tieferen Grund, warum einige dynamische Gleichungen Tensorgleichungen (des 2. Ranges) und andere Vektorgleichungen sind?
  2. Ist die Schrödinger-Gleichung eine Skalargleichung?
  3. Gibt es dynamische Gleichungen in der Physik, die Tensorgleichungen mit höherem Rang als 2 sind?
  4. Gibt es eine Obergrenze für den höchsten Rang, den eine physikalische Tensorgleichung haben kann? von einigen physikalischen Argument sein kann?
Ein Tensor ist mathematisch gesehen ein Vektor, da die Menge aller so-und-so-Tensoren einen Vektorraum bildet. Ein Vektor ist auch ein Tensor, da es sich um eine lineare Abbildung des dualen Raums auf das Feld handelt, über dem der Vektorraum definiert ist. Also so viel Unterschied scheint es nicht zu geben. Das sind alles Vektorgleichungen. Sie sind auch alle Tensorgleichungen. Ich poste dies nicht als Antwort, da es ein ziemlich kluger Kopf wäre. Was ich hervorheben möchte, ist, dass Sie anscheinend mehr daran interessiert sind zu fragen, warum die Vektorräume unterschiedlich sind oder warum die Ränge der Tensoren unterschiedlich sind
@MarkEichenlaub Ja, das ist der Kern meiner Frage, warum einige dynamische Gleichungen unterschiedliche Ränge haben und ob es eine Obergrenze für die Rangzahl gibt
@Mark Eichenlaub Bei der Erörterung von Tensoren ist der Vektor ein Tensor mit Rang 1. Es ist besser, dies nicht mit "Vektorräumen" zu mischen, die besser "linearer Raum" heißen: Diese haben weniger Struktur.
@Misha welches Axiom schlägt fehl? en.wikipedia.org/wiki/Vector_space#Definition
@Mark Eichenlaub Ich sagte "besser nicht", nicht "verboten". Natürlich sind Tensoren Elemente des linearen Raums. Indem Sie dies sagen, werfen Sie ihre Transformationseigenschaften weg, die sie zu Tensoren machen. Lesen Sie besser mehr über Tensoren.
@Misha Wenn ich Ihren Kommentar noch einmal lese, sehe ich jetzt, dass Sie nur darauf hinweisen wollten, dass Transformationseigenschaften von Tensoren wichtig sind, und dass Sie diese wichtige Struktur verlieren, wenn Sie nur sagen, dass sie Elemente eines Vektorraums sind. Ich stimme Ihnen zu, aber ich habe Ihren Kommentar zunächst nicht verstanden. Ich finde es auch unhöflich von Ihnen, mir zu sagen, ich solle mehr über Tensoren lesen. Ich weiß bereits, was Tensoren sind, und verstehe bereits die Bedeutung ihrer Transformationseigenschaften. Wenn Sie den sarkastischeren Kommentar lesen, den ich vor ein paar Minuten gepostet habe, und ihn löschen, entschuldige ich mich dafür.
Gleichungen in der Physik werden für physikalische Größen geschrieben. Letztere können formal Skalar, Vektor, Tensor usw. sein, je nachdem, wie ihre Komponenten in unterschiedlichen Bezugssystemen miteinander verbunden sind. Ohne eine solche Verbindung sind die Gleichungen nur Gleichungssysteme, oft gekoppelt, aber nicht zwingend. Die Anzahl der Gleichungen hängt vom physikalischen Inhalt ab.

Antworten (1)

  1. Die Anzahl der Variablen in einem Feldstatus. Diese Frage ist wie "Warum die Elektronenmasse kleiner als die Protonenmasse ist". Nur weil es eine Wahl gibt.
  2. Bei der Erörterung von Symmetrie ist es besser, nicht die Schrödinger-Gleichung, sondern die Klein-Gordon- oder Dirac-Gleichungen zu erörtern, bei denen es sich um Skalar- und Spinorgleichungen (1/2-Rang-Tensor) handelt. Die Schrödinger-Gleichung ist eine nichtrelativistische Grenze einer Sekunde, wobei der Spin vernachlässigt wird. Es könnte Ihnen ein besseres Bild vermitteln als nur die Aussage, dass es sich um einen Skalar handelt. Denn technisch gesehen ist es nicht unveränderlich.
  3. In Festkörpern ist Spin 5/2 eine normale Sache. Halb gefüllte D-Schalen einiger Metalle verhalten sich "unter normalen Bedingungen" wie Spin-5/2-Teilchen (bis Sie an einem Energiebereich interessiert sind, in dem das System beginnt, seine zusammengesetzte Natur zu spüren). Wahrscheinlich gibt es Situationen, in denen Sie höhere Impulse haben, die besser als Ganzes effektiv behandelt werden können, ohne auf Details ihrer Entstehung einzugehen.
  4. Bisher sind keine Elementarteilchen mit Spin >2 bekannt. Folglich haben Gleichungen für diese Partikel einen Rang von weniger als 2. Es gibt keine Obergrenze.
Was bestimmt, ob die dynamischen Gleichungen Tensorgleichungen oder Vektorgleichungen sind?
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