Überlagerung elektromagnetischer Wellen und Energielokalisierung

Sorry für die lange Frage. Ich wusste nicht, wie ich es kürzer machen sollte.

Ich versuche zu verstehen, wie Energie in einer elektromagnetischen Welle räumlich lokalisiert ist. Meine Räumlichkeiten sind:

  • Elektromagnetische Energie ist räumlich lokalisiert . E- und H- Felder speichern Energie. Eine Energiedichte kann als Funktion von E und H definiert werden ; und es kann auch ein Poynting-Vektor definiert werden, der den Kraftfluss über eine infinitesimale Oberfläche charakterisiert.
  • Felder gehorchen dem Superpositionsprinzip . Wenn zwei Wellen, die sich in verschiedene Richtungen ausbreiten (z. B. eine einfallende und eine reflektierte Welle), aufeinandertreffen, gehen sie „wie Geister“ durcheinander hindurch, was bedeutet, dass eine Welle nichts von der Existenz der anderen „weiß“ . Das Gesamtfeld ist nur die Summe der Einzelfelder.
  • Energie gehorcht nicht Superposition. Wenn zwei Wellen räumlich zusammenfallen, ist die Energiedichte nicht die Summe der Energien, die jede Welle für sich tragen würde. Es gibt Interaktions- (oder „ gekreuzte “) Begriffe. Diese Interaktionsbedingungen heben sich manchmal auf, aber sie existieren im Allgemeinen.
  • Ich betrachte lineare Medien mit dielektrischen Verlusten . Im Frequenzbereich bedeutet dies ϵ einen Imaginärteil ungleich Null hat, und dann durch die Kramers-Kronig-Beziehungen ϵ ist eine Funktion der Frequenz.

Stellen Sie sich einen rechteckigen elektromagnetischen Impuls einer bestimmten Länge vor, der sich von links nach rechts ausbreitet und auf eine vertikale Wand mit perfektem Leiter trifft. Diesem Impuls kann eine Gesamtenergie zugeschrieben werden. Stellen Sie sich einen Zeitpunkt vor, an dem ein Teil des Impulses bereits auf die Wand auftrifft und reflektiert wurde und ein Teil noch auf die Wand zuläuft.

In einem Bereich links von der Wand kommt es zu einer Überlagerung von einfallenden und reflektierten Wellen. Um die Energiedichte in diesem Bereich zu berechnen, muss man die Gesamtfelder berücksichtigen. Wie oben gesagt, ist die Energiedichte im Allgemeinen nicht die Summe der Terme, die jeder Welle entsprechen (es gibt Wechselwirkungsterme). Aus diesem Grund "bewegt sich die Energie anders" (und auf kompliziertere Weise) als die Felder.

Ich möchte diese Probleme selbst analysieren. Idealerweise würde ich gerne eine numerische Simulation in Matlab durchführen, um zu "sehen", wie sich die Energie im Laufe der Zeit im Raum verteilt; und wie die Gesamtenergie, einschließlich der im Medium dissipierten, erhalten bleibt. Ich habe dafür ein Matlab-Programm gemacht, bin aber hängen geblieben ϵ ist eine Funktion der Frequenz, und ich möchte im Zeitbereich analysieren.

Nun meine Fragen:

  • Sind alle meine Prämissen korrekt? Übersehe ich etwas?
  • Kennen Sie eine gute Referenz (Buch, Papier, Internet), die sich mit diesen Themen befasst? Beachten Sie, dass Analysen des normalen Einfalls in verlustfreien Medien möglicherweise nicht geeignet sind, da Energie in diesem speziellen Fall eine Art Überlagerung erfüllt. Dieser Fall ist also nicht allgemein genug für die Effekte, an denen ich interessiert bin.
  • Gibt es eine Möglichkeit, diese Effekte (einschließlich dielektrischer Verluste) im Zeitbereich zu analysieren? Wie geht man mit dem Zeitbereichsäquivalent eines Komplexen, Zerstreuten um? ϵ ? Irgendwelche Hinweise oder Hinweise in diese Richtung?
Energie gehorcht Superposition im Elektromagnetismus. Die Energiedichte an einem beliebigen Punkt im Raum ist die Summe aus elektrischer und magnetischer Energiedichte. Warum denkst du, dass dies nicht der Fall ist? Das örtliche Raumvolumen weiß nicht und kümmert sich nicht darum, wie diese Felder dorthin gekommen sind, ob sie durch kleine Kondensatoren und Spulen oder durch Überlagerung von einer Unmenge von Wellen erzeugt werden, ist völlig irrelevant. Das einzige, was man an einem beliebigen Punkt messen kann, sind zwei Vektoren und die Summe ihrer Quadrate ist die Energiedichte. Und warum machst du dir das Leben so schwer mit der Frequenzabhängigkeit? ϵ ?
@CuriousOne Gesamtenergie ist natürlich die Summe aus elektrischer und magnetischer Energie. Aber das ist keine Superposition! Die mit einer Überlagerung von reflektierten und einfallenden Feldern verbundene Energie ist nicht die Summe der einzelnen Energien. Und ich mache mir das Leben nicht schwer. Das Leben ist hart :-) Bedeutung, frequenzabhängig ϵ ist durchaus üblich. Tatsächlich passiert es in jedem verlustbehafteten Medium. Das heißt, in jedem anderen Medium als Vakuum
Ich verstehe was du meinst. Natürlich wurde Ihnen nie versprochen, dass sich Energie auf diese Weise addiert, nicht einmal in der klassischen Mechanik, wo sich kinetische Energie nicht durch lineare Addition von Geschwindigkeiten addiert. Die Frequenzabhängigkeit ist nicht schwer, es ist nur eine Fourier-Transformation entfernt ... aber wofür brauchen Sie das noch einmal? Versuchen Sie, ein FEM-Paket für Elektromagnetik zu schreiben? Ich würde mich nicht darum kümmern, es gibt bereits Dutzende oder sehr gute und Hunderte von beschissenen.
Dieses Papier könnte nützlich sein.
@CuriousOne Ich versuche nur, das Konzept der Energie in elektromagnetischen Feldern und insbesondere die Lokalisierung von Energie im Weltraum besser zu verstehen
Irgendwann sagt man eine perfekte Leiterwand, erwähnt dann aber den Verlust im Medium. Nur um sicherzugehen, dass Sie wissen, dass Verluste und Leitung miteinander verbunden sind. Kennen Sie das Lorentz/Drude-Modell für die Permittivität?
@David So wie ich es sehe, gibt es dielektrische Verluste, die nicht durch Leitfähigkeit verursacht werden. Oder sagen Sie, dass alle dielektrischen Verluste mit der Leitfähigkeit zusammenhängen?
Was ich sagen will ist, dass bei perfekter Leitfähigkeit kein Feld die Wand durchdringt und Sie sich darüber keine Sorgen machen müssen. Ist die Leitfähigkeit nicht perfekt, sondern endlich, geht sie mit Verlusten einher, siehe zB farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node102.html . Dielektrische Verluste sind eine "andere" Sache, aber dann müssen Sie ein Modell für das Material Ihrer Wand festlegen.
@ David Ich gehe davon aus, dass der Dirigent perfekt ist, also wird, wie Sie sagen, kein Feld die Wand durchdringen. Ich interessiere mich für die reflektierte Welle im dielektrischen Medium und wie sie (in Bezug auf die Energiedichte) mit der einfallenden Welle "interagiert".
Entschuldigung, ich habe nicht verstanden, dass Sie über das linke Medium gesprochen haben, als Sie über Dispersion gesprochen haben. Dann kann ich nicht mehr als die vorherigen Kommentare hinzufügen: Um die zeitliche Entwicklung numerisch zu behandeln, können Sie entweder alles im Frequenzbereich tun und in der Zeit zurücktransformieren. Oder Sie können FDTD/FEM tun: en.wikipedia.org/wiki/Finite-difference_time-domain_method . Aber wie CuriousOne sagte, gibt es dafür bereits Lösungen. Jedenfalls würde ich zuerst mit einer monochromatischen Welle beginnen (falls noch nicht geschehen), um Verständnis zu erlangen ...
@David Danke! FDTD ist vielleicht der richtige Weg ... aber ich sehe immer noch nicht, wie ich die Dispersion im Zeitbereich modellieren soll. Und sorry, ich sehe jetzt, dass meine Frage "elektrische Verluste" sagte, wenn es "dielektrische Verluste (elektrischen Ursprungs: komplexes Epsilon)" hätte sein sollen. Ich habe das gerade bearbeitet
"Aber ich sehe immer noch nicht, wie ich die Dispersion im Zeitbereich modellieren kann". Dazu müssen Sie eine Faltung mit der Impulsantwort der Domäne durchführen, dh der (inversen) Fourier-Transformation der Frequenzantwort, die die Permittivität ist (siehe zB Jackson 3. Aufl. S.14). Deshalb ist der Frequenzbereich so nützlich! die komplizierte Faltung einfach in eine Multiplikation umwandeln. Wenn Sie sich für die Impulsausbreitung in dispersiven Medien interessieren, empfehle ich Ihnen, das Buch von Brioulllin "Wave propagation and group Velocity" zu lesen.

Antworten (2)

Ich stelle es mir einfach vor, ein verlustbehaftetes Medium im Zeitbereich zu beschreiben, indem ich eine Formulierung verwende, bei der die Polarisation nicht nur durch das Feld durch einen zusätzlichen Reibungsterm bestimmt wird. Das Problem ist, dass Sie dann damit konfrontiert werden, die Maxwell-Gleichungen in ihrer vollständigen Form zu lösen - Sie können die Wellenlösungen nicht verwenden, die offensichtlich eine einzelne Frequenz annehmen. Aus diesem Grund wurde natürlich der Frequenzbereich erfunden - Sie können Ihr Wellenpaket durch eine Fourier-Zerlegung darstellen, aber dies führt zu zusätzlicher Komplexität und Annäherungen.

Sie befinden sich in diesem unangenehmen Zwischenregime - linear, aber dispersiv.

Ja, im Frequenzbereich fühle ich mich definitiv wohler. Das Problem ist, dass ein rechteckiger "Impuls" (eine Welle mit endlicher räumlicher Ausdehnung) keine einzelne Frequenz ist, und wie Sie sagen, führt dies zu Komplikationen

In Bezug auf Ihre letzte Frage (Analyse im Zeitbereich) hat @akrasia Recht, dass Sie im Grunde zu Maxwells Gleichungen zurückkehren müssen. Schauen Sie sich das Amperesche Gesetz an: ∇ × H = J F + ∂ D ∂ T . Darin gibt es die Begriffe, die die Eigenschaften des Mediums erfassen: J F = σ E Und D = E + P = E + χ E .

Der σ E Und χ E Begriffe beschreiben die lineare Reaktion des Mediums. So geschrieben ist es einfach, im Frequenzbereich mit frequenzabhängigen Größen zu arbeiten. Das ist, J F ( ω ) = σ ( ω ) E ( ω ) Und P ( ω ) = χ ( ω ) E ( ω ) .

Wenn Sie stattdessen lieber im Zeitbereich arbeiten, ist das kein Problem. Nimm einfach deine frequenzabhängige χ ( ω ) und inverse Fourier-Transformation ( F − 1 ) es in den Zeitbereich: χ ( T ) = F − 1 [ χ ( ω ) ] ( T ) . Dann ist die lineare Antwort eine Faltung ( ⊗ ), z.B P ( T ) = χ ( T ) ⊗ E ( T ) . Alternativ kann es einfacher sein, Ihren elektrischen Feldpuls zuerst in den Frequenzbereich zu transformieren und von dort aus zu gehen (dh P ( T ) = F − 1 [   χ ( ω )   F [ E ( T ) ] ( ω ) ] ).

Sobald Sie die zeitliche Reaktion des Mediums haben, J F ( T , z ) und/oder P ( T , z ) , setzen Sie sie in das Amperesche Gesetz ein und propagieren Sie die Felder in Ihrer Simulation gemäß der resultierenden Wellengleichung.

Überlagerung elektromagnetischer Wellen und Energielokalisierung
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