Umwandeln zwischen Reihen- und Parallelschaltungen

Die Bestimmung der Impedanz dieser Schaltung erfordert die Implementierung des richtigen Tools. Wenn Sie die Brute-Force-Analyse verwenden und nur die Reihen-Parallel-Kombination in Betracht ziehen, können Sie schnell mit einer algebraischen Lähmung enden, um Dr. Middlebrook zu zitieren, der das Extra-Elemente-Theorem oder EET geschmiedet hat, aus dem sich die schnellen analytischen Schaltungstechniken oder FACTs ableiten .

Das Prinzip ist einfach: Bestimmen Sie die Zeitkonstanten der Schaltung unter zwei verschiedenen Bedingungen. Wenn die Erregung auf Null gesetzt ist, bestimmen Sie die natürlichen Zeitkonstanten für den Stromkreis, indem Sie jedes energiespeichernde Element vorübergehend trennen und durch seine Verbindungsklemmen "schauen", um den Widerstand zu bestimmen$R$. Sie bilden dann eine Zeitkonstante$\tau$gleich entweder$RC$oder$\frac{L}{R}$. Die Zuordnung all dieser natürlichen Zeitkonstanten bildet den Nenner$D(s)$.

In der zweiten Bedingung ist die Erregung wieder vorhanden und Sie bestimmen den Widerstand "gesehen" durch die Verbindungsklemmen der betrachteten energiespeichernden Elemente, aber wenn die Antwort genullt ist. Diese neu ermittelten Zeitkonstanten werden dann zum Zähler zusammengesetzt$N(s)$.

In dieser Übung ist der Stimulus zur Bestimmung der Eingangsimpedanz eine Stromquelle, während die Reaktion die an ihren Anschlüssen entwickelte Spannung ist. Um die Erregung auf Null zu setzen, schalten wir die Stromquelle aus oder öffnen sie einfach. Dann "schauen" wir uns den Widerstand an, den das energiespeichernde Element bietet. Dies ist in den folgenden Skizzen dargestellt:

Für die ersten Skizzen wird eine Zeitkonstante bestimmt, während die anderen Elemente in ihren DC-Zuständen belassen werden: kurzgeschlossene Induktivität und offene Kondensatoren. Dann wird für die Zeitkonstante 2. Ordnung ein Element in seinen hochfrequenten Zustand versetzt, während man auf die betrachteten Anschlüsse „schaut“, um den Widerstand zu ermitteln. Wenn du liest$\tau_{12}$bedeutet dies, dass Element 1 in seinen Hochfrequenzzustand versetzt wird (offener Induktor und kurzgeschlossener Kondensator), während Sie sich den Widerstand ansehen, den die Anschlüsse von Element 2 bieten.$\tau_{123}$bedeutet, dass 1 und 2 in ihrem Hochfrequenzzustand sind, während Sie sich den Widerstand ansehen, der von den Anschlüssen von 3 angeboten wird.

Bei den Nullen ist es etwas komplizierter. Sie führen ähnliche Operationen aus, während die Antwort auf Null gesetzt wird. Eine genullte Reaktion über die Stromquelle ist ähnlich wie das Ersetzen der Stromquelle durch einen Kurzschluss. Hier gehen wir, schließen Sie die Stromquelle kurz und wiederholen Sie die gleichen Operationen, die wir für die natürlichen Zeitkonstanten durchgeführt haben.

Die resultierenden Ausdrücke werden im folgenden Mathcad-Arbeitsblatt berechnet. Wie Sie sehen können, keine Gleichungen, nur kleine Zeichnungen untersuchen. Wenn Sie am Ende einen Fehler machen, korrigieren Sie einfach die schuldige Zeichnung und korrigieren die entsprechenden Zeitkonstanten. Bei der Brute-Force-Analyse schreist du, wenn du einen Fehler entdeckst, schimpfst (das tue ich!) und schmeißt den Luftzug an die Wand : )

Dann besteht die Übung darin, die rohe Übertragungsfunktion, die übrigens bereits in normierter Form vorliegt, neu zu ordnen: Dies ist eine weitere Stärke der FACTs. Ich habe den Nenner 3. Ordnung als Produkt aus einem niederfrequenten Pol und einem höherfrequenten Doppelpol angenähert. Eine weitere Faktorisierung im Zähler führt zu einer Null mit führendem Glied. Der Vergleich von Pol und Null zeigt, dass sie sehr nahe beieinander liegen und sich somit gegenseitig kompensieren: Sie verschwinden aus der Gleichung. Führen Sie eine weitere Faktorisierung durch und Sie erhalten den Eingangsimpedanzausdruck mit niedriger Entropie :

$Z_{in}(s)=H_{peak}\frac{1}{1+\frac{\omega_0Q}{s}+\frac{sQ}{\omega_0}}$

Der führende Begriff$H_{peak}$trägt die Einheit von$\Omega$und das ist, was Sie wollen. Der von mir abgeleitete Ausdruck lautet:

Wie Sie sehen können, führen beide Ausdrücke zu genau derselben Antwort. Der von Ihnen bereitgestellte Ausdruck ist jedoch eine sehr kompakte Version und ein großes Lob an seinen Autor!

Das komplette Bild ist hier:

Die Handlung ist hier angegeben. Sie vergleichen den Brute-Force-Ausdruck mit dem, der mit den FACTs und der endgültigen faktorisierten Version erhalten wurde. Sie sind alle in ausgezeichneter Übereinstimmung. Eine SPICE-Simulation mit einer großen Anzahl von Punkten pro Dekade (10000) bestätigt den exakten Spitzenwert, der von Mathcad berechnet wurde.

Dies ist ein typisches Beispiel, bei dem die FACTs das einfachste und schnellste Werkzeug sind, das Sie sich vorstellen können. Das Unterbrechen des Stromkreises in einer Folge einfacher Zeichnungen, die Sie untersuchen, anstatt sie durch Gleichungen zu lösen, ist ein enormer Vorteil im Vergleich zu anderen Methoden. Schließlich ist etwas Geschick erforderlich, um den endgültigen Ausdruck richtig neu anzuordnen und einen führenden Begriff zu enthüllen, aber nichts Unüberwindbares. Vive les FACTS!