Unendliches Planetengitter mit Newtonscher Gravitation

Um zu sagen, dass sich eine Konfiguration in einem Gleichgewichtszustand befindet, müssen Sie sagen, dass die auf jeden Planeten wirkende Nettokraft null ist. Um jedoch die Nettokraft zu definieren (wenn Sie ein Mathematiker sind), müssen Sie eine Regel zur Regularisierung einer Summe auswählen und begründen, die nicht absolut konvergent ist. Die Regel, die Sie anscheinend gewählt haben, setzt eine Grenze für konzentrische Kugeln, die auf dem betreffenden Planeten zentriert sind. Diese Methode gibt eine bequeme Antwort von Null Nettokraft.

Sie fragen sich vielleicht, warum dies einer anderen Regularisierungsmethode vorzuziehen ist. Wenn Sie beispielsweise eine Grenze über immer größere Ellipsoide gleicher Exzentrizität wählen, bei denen ein Fokus der betreffende Planet ist und der andere Fokus sich in einer bestimmten Richtung in der Ebene wegbewegt, erhalten Sie eine Anziehungskraft in diese Richtung . Dies ist eine gültige Summationsmethode in dem Sinne, dass die Beiträge von allen Planeten schließlich berücksichtigt werden, wenn die Nettokraft auf einen Planeten berechnet wird.

Ein Vorteil der sphärischen Regularisierung gegenüber der ellipsoidischen Methode besteht darin, dass sie unter starren Bewegungen invariant ist, und tatsächlich wird jede Regularisierungsmethode, die unter Reflexionen oder Drehungen invariant ist, eine Antwort von Null geben. Dies macht das Gleichgewicht zu einer ästhetisch natürlichen Antwort, aber das bedeutet nicht unbedingt, dass es die richtige Antwort gibt. Insbesondere denke ich, dass der Aufbau ausreichend von realistischen physikalischen Situationen getrennt ist, dass eine Präferenz für Symmetrie keine Regularisierung rechtfertigt, daher würde ich sagen, dass diese Frage keine genau definierte Antwort hat (aber Physiker könnten anderer Meinung sein).

Dies ist eine sehr subtile Grenze der Allgemeinen Relativitätstheorie, bei der die Bewertung unbestimmter Formen wichtig wird.

Beachten Sie zunächst, dass sich das Gravitationspotential aufgrund der gleichmäßigen Materiedichte nicht gut verhält. Es müsste genügen

$$\Delta \Phi \sim \rho_{\rm planets}$$ Da die rechte Seite jedoch einheitlich ist (bei Abständen, die länger als der Rasterabstand sind), bräuchten Sie so etwas wie $$\Delta = C\vec x\cdot \vec x$$ Das ist schlecht, weil das Gravitationspotential im Unendlichen eindeutig gegen unendlich geht und es nur einen Ort gibt, an dem das Gravitationspotential stationär ist. Alle anderen Planeten würden Kraft spüren. Sie können aber auch das Gravitationspotential ignorieren und nur seinen Gradienten betrachten. Entsprechend können Sie einen Newtonschen „Term der kosmologischen Konstante“ hinzufügen $$\Delta \Phi \sim \rho_{\rm planets} -\rho_0$$ Hier der kosmologische konstante Begriff $\rho_0$kann gewählt werden, um den Durchschnittswert von aufzuheben $\rho_{\rm planets}$. Diese zusätzliche Zugabe von $\rho_0$würde die Beschleunigungen und Kräfte nicht beeinflussen, weil es völlig gleichförmig ist.

Wenn Sie also auf den Standardformeln für das Gravitationspotential bestehen und jede Art von kosmologischer Konstante verbieten, kann diese Anordnung nicht im Gleichgewicht sein. Wenn Sie jedoch zulassen, dass eine konstante Vakuumenergie hinzugefügt und die durchschnittliche Dichte aus dem Planetengitter subtrahiert wird, erhalten Sie möglicherweise einen stationären Zustand, der einer nicht relativistischen Version des statischen Einstein-Universums ähnelt, an das Einstein an die allgemeine Relativitätstheorie glauben wollte (was sich als falsch erwiesen hat, als Hubble die Expansion des Universums beobachtete).

Genau wie das statische Universum von Einstein ist diese gleichförmige Anordnung der Materie instabil. Eine kleine Abweichung wird beginnen, das Gitter zu zerstören und die Planeten zu verklumpen, indem sie einen Teil ihrer potenziellen Energie in kinetische Energie und chaotische Bewegung umwandelt.

Übrigens, wenn Sie das Gravitationspotential überhaupt nicht verwenden wollten, könnten Sie einfach die Beschleunigungen berechnen. Ihre Argumentation - die mit einer "Gleichgewichts" -Antwort endet - basiert auf Symmetrie. Die Beschleunigung von den anderen Planeten ist proportional zum Integral

$$\int \frac{\vec r}{r^3} r^2 dr$$ in Kugelkoordinaten geschrieben. Aufgrund der Symmetrie könnte man argumentieren, dass sie verschwindet, da der Integrand eine ungerade Funktion ist. Allerdings gilt das nur um einen Ursprung herum, der für jede Planetensonde anders gewählt werden muss. Wenn Sie den Mittelpunkt der Kugelkoordinaten verschieben, erhalten Sie zwangsläufig ein anderes Ergebnis. Dieses Problem ist mathematisch isomorph zu den "Anomalien", die sich aus linearen Divergenzen in der Quantenfeldtheorie ergeben. In gewissem Sinne ist die Theorie mit eurem planetaren Gitternetz schlecht definiert.

Nun, die Hauptfrage nach einem 2D-Gitter in einer 3+1-dimensionalen Raumzeit wurde bereits von Lubos Motl und Scott Carnahan mit der Hauptschlussfolgerung beantwortet, dass sowohl die Potentialsumme als auch die Kraftsumme nicht absolut konvergent und daher nicht mathematisch sind gut gestellt.

Zur Bonusfrage nach einem Dimensionsraster$d$, klar, ein 3D-Raster würde die Dinge nur noch schlimmer machen, was uns ein 1D-Raster übrig lässt, sagen wir, eine einzelne Reihe von Planeten entlang der$x$-Achse auf Position$x\in a\mathbb{Z}$, wo$a$ist die Rasterweite. Die entsprechende Potentialsumme ist logarithmisch divergent, aber die Kraftsumme ist eigentlich absolut konvergent, also macht hier die Rechnung durchaus Sinn. Nennen wir den Einheitsvektor in der$x$-Richtung für$\hat{x}$, dann die Gravitationskraft auf dem Planeten$P$bei$\vec{r}=\vec{0}$ist

$$\vec{F}~=~\frac{Gm^2}{a^2}\hat{x}\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{n}{|n|^3}~=~\vec{0},$$

was null ist durch$n\leftrightarrow -n$Symmetrie, wie erwartet.