Unsicherheitsprinzip und Lichtimpuls

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass es sich laut QM um eine beliebige mathematische Ungleichung handelt, die der Genauigkeit, mit der bestimmte Paare physikalischer Eigenschaften eines Teilchens bekannt sein können, eine grundlegende Grenze gibt.

In Ihrem Fall ist das Teilchen das Photon, und die Eigenschaften sind Ort und Impuls.

Wenn der Detektor nun die Position des Photons erkennt, kann man sagen, dass in diesem Moment die Position bekannt ist. Sie fragen, ob wir das Momentum auch in diesem Moment kennen können. Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt ausdrücklich, dass wir das nicht können. Der Moment, in dem die Position des Photons bekannt ist, ist, wenn der Detektor sie anzeigt.

In diesem Moment interagiert das Photon mit dem Atom des Detektorschirms. Dieses Atom absorbierte das Photon, und die Energie des Photons wurde in die kinetische Energie des absorbierenden Elektrons umgewandelt, das sich gemäß QM auf ein höheres Energieniveau bewegte.

In dem Moment, in dem die Energie des Photons in die kinetische Energie des absorbierenden Elektrons umgewandelt wurde, hört das Photon auf zu existieren. Sein Momentum kann nicht mehr interpretiert werden. Was Sie wissen, ist, dass in der Vergangenheit die Position des Photons im Moment der Absorption bekannt war.

Aber Sie können nicht wissen, dass es im selben Moment Momentum ist. Der Impuls ist eine Vektorgröße, und da das Photon im Moment der Absorption zu existieren beginnt, gibt es keinen Impuls mehr zu messen.

Wenn Sie die Position der Absorption als die letzte bekannte Position des Photons interpretieren würden, dann könnten Sie versuchen, seine Frequenz zu diesem Zeitpunkt (in der Vergangenheit) herauszufinden. Was Sie überprüfen könnten, wäre vielleicht die Frequenz des Photons. Dazu müssten Sie überprüfen, ob sich das absorbierende Elektron von seiner Grundebene auf ein bestimmtes Energieniveau bewegt hat, den Unterschied zwischen den beiden Energieniveaus überprüfen, und das könnte die vergangene Frequenz des Photons sein. Sie könnten das als die letzte bekannte Frequenz des Photons interpretieren.

Aber selbst das (die Frequenz) wäre kein Impuls. Momentum ist eine Vektorgröße, Frequenz nicht. Und selbst wenn Sie den Energieunterschied der Niveaus des absorbierenden Elektrons herausfinden könnten, ist dies möglicherweise nicht mit Sicherheit die Frequenz des ursprünglichen Photons. Es kann zu einer Multiphotonenabsorption kommen, wenn ein Photon von mehreren Elektronen absorbiert wird, oder das Elektron entspannt sich in mehreren Schritten, und das würde es schwieriger machen, die Frequenz des ursprünglichen Photons zu überprüfen.

Aber die Heisenbergsche Unschärferelation würde trotzdem funktionieren, da man den Ort und den Impuls nicht gleichzeitig kennen kann.

Nun, das ist für die Zeit der Absorption.

Man könnte sagen, man möchte den Ort und den Impuls des Photons im Flug herausfinden. Auch das ist nicht möglich, weil angenommen wird, dass sich das Photon als Welle ausbreitet. Wie würden Sie die Position dieser Welle messen? Es ist nicht möglich. Wie würden Sie den Impuls dieser Welle messen? Die einzige Möglichkeit, die Eigenschaften des Photons zu messen, besteht darin, mit ihm zu interagieren.

Jetzt könnten Sie inelastische Streuung verwenden, um ein Photon zu detektieren. Es ist sehr gut, etwas über das Doppelspaltexperiment zu lernen, wenn sich auf einem der Spalte ein Detektorfilter befindet. Mit dem Detektor können sie prüfen, ob das Photon durch einen bestimmten Spalt gegangen ist. Dadurch entsteht eine inelastische Streuung, bei der das Photon vom Atom des Detektors inelastisch gestreut wird. Aber selbst dann gibt Ihnen dieser Detektor keine bestimmte Position für das Photon. Und Sie können überhaupt nicht wissen, dass es Momentum ist. Das ist das Problem bei der inelastischen Streuung, sie ändert die Energie und Phase des Photons, und das Photon ändert auch den Winkel (Impuls ist ein Vektor, also ändert sich mit der Änderung des Winkels auch der Impuls).

Die einzige Möglichkeit, die Position des Photons mit Sicherheit zu messen, besteht darin, es zu absorbieren. Aber die Absorption wird auch die Existenz des Photons ergreifen, so dass sein Impuls nicht interpretierbar ist.

Eine einfache Erklärung:

Um zu wissen, wo sich das Photon befindet, müssen wir genau wissen, wann es freigesetzt wird. Vermuten$\Delta t$ist unsere Ungewissheit in dieser Zeit. Die Positionsunsicherheit ist somit$\Delta x = c\Delta t$. Unterdessen ist unsere Unsicherheit in seiner Energie am besten$\Delta E > \hbar/\Delta t$. Denn für Photonen haben Energie und Impuls eine einfache Beziehung$E = cp$, wir haben$c \Delta p > \hbar/ \Delta t$, So$\Delta p > \hbar/c \Delta t = \hbar/ \Delta x$und alles ist stimmig.

Dies scheint darauf hinzudeuten, dass, wenn wir den Ort der Quelle eines Photons und seinen Impuls kennen, wir seine Position jederzeit kennen. Der gesunde Menschenverstand stimmt zu. Das Unbestimmtheitsprinzip legt jedoch nahe, dass die möglichen Orte des Photons in diesem Fall über den ganzen Raum verteilt sein sollten.

Ich bin mir nicht sicher, was Ihre Verwirrung ist. Wenn wir den Ort der Quelle mit unendlicher Genauigkeit kennen und wir ihren Impuls mit unendlicher Genauigkeit kennen, würde dies das Unschärfeprinzip verletzen. Sie sagen also: "Wenn das Unsicherheitsprinzip nicht gelten würde, hätten wir eine Situation, die dem Unsicherheitsprinzip widerspricht".

Wenn ein Photon emittiert wird, hat der Emitter eine gewisse Breite, sodass wir eine gewisse Unsicherheit hinsichtlich seiner ursprünglichen Position haben. Und es gibt auch eine gewisse Unsicherheit hinsichtlich seiner Richtung. Wenn Sie irgendwie einen Emitter von unendlich kleiner Breite herstellen könnten, würde sich die Welle des Photons in alle Richtungen ausbreiten. Das sieht man am Einzelspaltexperiment: Je kleiner der Spalt wird, desto mehr breiten sich die Photonen aus.

Photonen sind Elementarteilchen und unterliegen bei der Erzeugung und Detektion quantenmechanischen Beschränkungen. Die Heisenbergsche Unschärferelation ist eine untere Schranke für das Produkt aus Ort und Impuls.

Wenn Sie die Zahlen ersetzen, werden Sie sehen, dass jede im Labor durchgeführte Messung dem "größer als" der Ungleichung gehorcht.

$h/{2π}$ist in Ordnung$10^{-15}\: \mathrm{eV \, s}$, eine sehr kleine Zahl

Detektoren können Scheitelpunkte in der Größenordnung von Mikrometern liefern, und wenn die Energie des Photons kleiner als ein paar Elektronenvolt ist, wird es nicht mit den Atomen und Molekülen interagieren.

Außerdem haben die ursprünglichen Energieniveaus, aus denen das Photon erzeugt wird, eine Breite, die Unsicherheit in die Frequenz einführt.

Nehmen Sie die $\pi_0 \to \gamma \gamma$, der Fehler im Scheitelpunkt der e+e-Paare trägt zur Unbestimmtheit des ursprünglichen Scheitelpunkts ebenso bei wie der Fehler im Impuls der Leptonen.

Wenn Sie sich die Mühe machen, die Berechnungen anzustellen, werden Sie sehen, dass die HUP makroskopisch automatisch erfüllt ist. Nur bei direkten Quantenwechselwirkungen spielt es eine einschränkende Rolle.

Da wir die Position der Quelle des Photons kennen, können wir seine Flugbahn von der Quelle zum Detektor bestimmen, sobald wir seine endgültige Position auf dem Detektor kennen.

Photonen haben keine Bahnen. Es ist durchaus möglich, eine Situation in Betracht zu ziehen, in der Sie den Startpunkt des Photons mit hoher Genauigkeit kennen (z. B. Sie wissen, dass es an einem Molekül erzeugt wurde, das an einer bestimmten Stelle fest gebunden ist) und die Position kennen, an der es sich befand erkannt (Sie wissen, auf welches Pixel geklickt wurde), aber dieses Wissen sagt Ihnen nichts darüber aus , was zwischen diesen beiden Zeitpunkten passiert ist. Wenn Sie zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht aktiv eine projektive Messung der Position (bzw. des Impulses) durchführen$t$, dann wird QM ausdrücklich davon abgehalten, etwas über diese Position (bzw. Momentum) zu diesem Zeitpunkt zu sagen.

Ich sehe nichts, was einen solchen Detektor praktisch daran hindern würde, uns auch die Energie des Photons mit beliebiger Genauigkeit zu liefern, wobei nur praktische, technologische Einschränkungen gelten.

Da die Lichtgeschwindigkeit immer ist$c$, und die Formel für den Impuls eines Photons ist einfach$h/\lambda$, folgt daraus, dass wir die Position und den Impuls des Photons ohne offensichtliche Einschränkungen berechnen können, die diese beiden Werte in Beziehung setzen.

Es ist durchaus sinnvoll, hinter Ihrem Detektorpixel ein Spektrometer hinzuzufügen, damit Sie auch eine projektive Messung der Frequenz durchführen, und dies gibt Ihnen einen eindeutigen Wert für den Photonenimpuls.

Dieses Verfahren sagt Ihnen jedoch nichts über die Richtung , in die sich dieses Photon bewegt, sodass Sie keine wirkliche Kenntnis des Photonenimpulses haben, der eine Vektorgröße ist.

Darüber hinaus bedeutet die Tatsache, dass Sie die Photonenfrequenz nachträglich auswählen, dass der anfängliche Vorwand, dass die Photonenfrequenz unbestimmt war, in diesem Zusammenhang entfernt werden kann und Ihre Konfiguration einer entspricht, die Sie genau kannten (sagen wir, aufgrund der Art und Weise, wie Sie die Emissionslinien Ihres Moleküls abgestimmt haben), wie hoch die Photonenfrequenz war. In diesem Bild haben Sie ein Molekül, das ein schmalbandiges Einzelphotonen-Wellenpaket aussendet, das sofort fortfährt, den gesamten verfügbaren Raum in dem Helmholtz-Modus auszufüllen , der durch den Übergang angetrieben wird, und sich zu einer komplizierten räumlichen Wellenfunktion mit einem großen räumlichen und entwickelt Impulsunterstützung, die einen großen Teil Ihres Detektors abdeckt, woraufhin eines der Detektorpixel klickt.

Und sobald Sie solche Dinge einrahmen, sollte klarer sein, dass die Informationen, die dieser Detektor-Klick bietet, ziemlich begrenzt sind, da Sie das nächste Mal, wenn Sie das Experiment erneut ausführen, einen Klick von einem anderen Pixel erhalten.