Verstehen von Heaviside und Dirac Delta für die Quantenschrittfunktion

Question

Verstehen von Heaviside und Dirac Delta für die Quantenschrittfunktion

iron2man

Wenn ich mir die Lösung für von dieser Seite ansehe, bin ich etwas verwirrt darüber, wie zwei Mengen notwendigerweise reduziert werden.

Ich habe diese Wellenfunktion gegeben

ψ (X) = {\begin{cases} A X & 0 < X < A / 2 \\ A (A - X) & A / 2 < X < A \\ 0 & ansonsten \end{cases}

$\psi(x) = \begin{cases} Ax & 0<x<a/2 \\ A(a-x) & a/2 < x < a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Wenn ich die Ableitung nehme, können wir sie als Treppenfunktion ausdrücken.

\begin{aligned} \frac{\partial ψ (X)}{\partial X} & = {\begin{cases} A & 0 < X < A / 2 \\ - A & A / 2 < X < A \\ 0 & ansonsten \end{cases} \\ = A [θ (X) - θ (X - \frac{A}{2}) - θ (X - \frac{A}{2}) + θ (X - A)] . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial\ \psi(x)}{\partial x} &= \begin{cases} A & 0<x<a/2 \\ -A & a/2 < x < a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \\ &\\ &= A \left[ \theta(x) - \theta \left (x-\frac{a}{2} \right) - \theta \left( x-\frac{a}{2} \right) + \theta(x-a) \right] \, . \end{align}$

Erste Frage

Wie reduziert sich die Sprungfunktion darauf?

A [θ (X) - θ (X - \frac{A}{2}) - θ (X - \frac{A}{2}) + θ (X - A)] = - A (2 θ (X - \frac{A}{2}) - 1),

$A \left[ \theta(x) - \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) - \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) + \theta(x-a) \right] = -A \left( 2 \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) - 1 \right) \, ,$ dh wo kam der her?

Also mit dieser Menge nehme ich die zweite Ableitung, um zu kommen

\frac{\partial^{2} ψ (X)}{\partial^{2} X} = - 2 A δ (X - \frac{A}{2}) .

$\frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x} = -2A\ \delta \left(x-\frac{a}{2} \right) \, .$

Zweite Frage

Was jetzt also übrig bleibt, ist die Integration meiner zweiten Ableitung mit meiner Schrittfunktion, bei der ich keine Ahnung habe, welche Terme verschwinden.

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ (X)}{\partial^{2} X} D X = A \int_{0}^{A / 2} X δ (X - A / 2) D X + A \int_{A / 2}^{A} A δ (X - A / 2) D X - A \int_{A / 2}^{A} X δ (X - A / 2) D X

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*} \frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x}dx = A \int_{0}^{a/2} x \delta(x-a/2) dx + A \int_{a/2}^{a} a \delta(x-a/2) dx - A \int_{a/2}^{a} x \delta(x-a/2) dx$

Wie gehe ich vor und was ist die Begründung?

Bill Watt

Der

1

$1$ kommt daher, dass

θ (x)

$\theta(x)$ Ist

1

$1$ in der Pause von

0

$0$ zu einem.

θ (x - a)

$\theta(x-a)$ wirkt sich nur auf Werte für aus

x > a

$x > a$ , kann also in diesem Intervall ignoriert werden.

Antworten (1)

Verstehen von Heaviside und Dirac Delta für die Quantenschrittfunktion

Der $1$ kommt daher, dass $\theta(x)$ Ist $1$ in der Pause von $0$ zu einem. $\theta(x-a)$ wirkt sich nur auf Werte für aus $x > a$ , kann also in diesem Intervall ignoriert werden.

Effervescenza Naturale · Answer 1

Erste Frage Ich nehme an, Ihre Quelle sagt implizit: „Konzentrieren wir uns nur auf $] 0,a [$ '. Sie können die verlassen $\theta(x)$ und das $\theta(a-x)$ , die entsprechenden Deltas verschwinden trotzdem (siehe unten).

Zweite Frage Ich würde sagen, so wie Sie das Integral geschrieben haben, fehlen einige Teile:

\int_{0}^{A / 2} ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ (X)}{\partial^{2} X} D X = \int_{0}^{A / 2} A X \cdot - 2 A δ (X - \frac{A}{2}) D X = A \int_{0}^{A / 2} δ (X - A / 2) D X ? ?

$\int_{0}^{a/2} \psi^{*} \frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x} \ \mathrm{d}x = \int_{0}^{a/2} A x \cdot -2A\ \delta(x-\frac{a}{2}) \ \mathrm{d}x = A \int_{0}^{a/2} \delta(x-a/2) \ \mathrm{d} x \ \ ??$ Usw.

Wie auch immer, Sie können den Energieerwartungswert direkt mit der Eigenschaft von Delta berechnen:

\int_{X_{1}}^{X_{2}} F (X) δ (X - C) D X = F (C)

$\int_{x_1}^{x_2} f(x) \delta(x-c) \ \mathrm{d}x = f(c)$ Wo

c \in] x_{1}, x_{2} [

$c \in \ ]x_1, x_2[$ (aber du hast richtig geschrieben

] - \infty, \infty [

$]-\infty,\infty[$ , das ist also sicherlich wahr).

Falls Sie es wollen, $\int_{x_1}^{x_2} f(x) \delta(x-x_2) \ \mathrm{d}x = f(x_2) / 2$ usw., aber es ist einfacher, wenn Sie das Integral überhaupt nicht aufteilen.

Hallo, ich habe die Grenzen des Integrals definiert $[-\infty,\infty]$ um den gesamten Raum darzustellen, der sich auf die Grenzen der Treppenfunktion reduziert. Für die Integrale von $\int_{a/2}^{a} x \delta(x-a/2)dx + \int_{a/2}^{a} \delta(x-a/2)$ , wie würdet ihr das bewerten?
Knifflig wird es, wenn man versucht, das Integral nur im Delta-Bewertungspunkt aufzuspalten (aber möglich: Ergebnis durch 2 teilen). Vielleicht sollte ich das in der Antwort hinzufügen.
@ DarthLazar Hast du es geschafft, das zu lösen? Das einzige wirkliche Problem, das ich sehen konnte, war, wie man das Dirac-Delta anwendet (auf die etwas falsche Art und Weise, die Sie in der Physik immer sehen werden), und ich habe versucht, das anzugehen, aber wenn es noch etwas anderes gibt, versuchen Sie es bitte zu erweitern, weil Ich kann es nicht selbst herausfinden.

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Bill Watt

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