Verwendung der Feinstrukturkonstante zur Messung von Atom- und Molekülgrößen

Dies ist eine Art Kursarbeitsfrage, aber sie bringt einige wirklich interessante Dinge über die Feinstrukturkonstante ans Licht$\alpha$deshalb wollte ich es posten, um nicht nur sicherzustellen, dass ich etwas verstanden habe, sondern auch um auf einige andere Ideen einzugehen.

Also die Frage: Wir sollen zeigen, dass das Verhältnis der Wellenlänge eines von einem Atom emittierten Photons zu seiner Größe wiederum zusammenhängt$\alpha$. Ich bin auf folgendes gekommen:

für ein wasserstoffähnliches Atom (unter Verwendung des Bohr-Modells)

$$r = \frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}$$ oder, in Bezug auf den Bohr-Radius, $r= \frac{n^2r_0}{Z}$Wo $k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$

Nun, die Energie eines Atoms ist$E=\frac{kZe^2}{2r}$(Ich kann das aus dem Virial-Theorem bekommen) und r ist in diesem Fall der Radius, den wir von früher haben.

Wir haben eins in das andere gesteckt

$$E=\frac{kZe^2}{2 \frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2}$$ seit $E=h \nu = hc/ \lambda$wir haben $$\frac{hc}{\lambda}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2}$$

Nun ist die Feinstruktur konstant$\alpha = \frac{ke^2}{\hbar c}$und das macht daraus

$$\frac{1}{\lambda}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2 hc}=\alpha^2 \frac{\pi Z^2 m_ec}{ n^2 \hbar}$$ und Multiplizieren des ursprünglichen r damit: $$\frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}\alpha^2 \frac{\pi Z^2 m_ec}{ n^2 \hbar}=\alpha \pi Z = \frac{r}{\lambda}$$

was mir sagt, dass das Verhältnis von Größe zu Wellenlänge vollständig von Z und abhängt$\alpha$.

Ich habe dies auch in die Energieänderungsgleichung eingesetzt,

$$\Delta E = -Z^2 \frac{ke^2}{2r_0} \left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)$$ und einstecken, was wir haben $r_0$:

$r_0=\frac{\hbar^2}{m_eke^2}\rightarrow-Z^2 \frac{ke^2}{2(\frac{\hbar^2}{m_eke^2})} \left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)\rightarrow -Z^2\frac{k^2e^4m_e}{2\hbar^2}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)\rightarrow -Z^2\frac{\alpha^2c^2m_e}{2}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)=\Delta E$

Angenommen, ich habe das richtig gemacht, würde das auch für ein Molekül gelten? Das heißt, bei einer gegebenen Wellenlänge würde ich denken, dass Sie diese einfach wieder in die Energiegleichung einsetzen würden (mit$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$und erhalten Sie eine Schätzung der Größe. Aber ich überprüfte, ob meine Logik richtig war.

Die andere interessante Sache für mich ist, wie man es verwenden könnte$\alpha$auf andere interessante Weise für Probleme wie dieses.

Wie auch immer, wenn jemand sagen kann, dass ich etwas Dummes getan habe, ist das sehr zu schätzen. Ich möchte nur sehen, ob meine Logik richtig ist.