Warum haben Linien in Atomspektren eine Dicke? (Bohrsches Modell)

Nach dem Bohr-Modell sollten die Absorptions- und Emissionslinien unendlich schmal sein, da es nur einen diskreten Wert für die Energie gibt.

Es gibt nur wenige Mechanismen zur Verbreiterung der Linienbreite - natürliche Linienbreite, Lorentz-Druckverbreiterung, Doppler-Verbreiterung, Stark- und Zeeman-Verbreiterung usw.

Nur der erste wird in der Bohr-Theorie nicht beschrieben - es ist eindeutig ein Quanteneffekt, dies ist eine direkte Folge der Zeit-Energie-Unschärferelation:

bei dem die$\Delta E$ist die Energiedifferenz, und$\Delta t$ist die Abklingzeit dieses Zustands.

Die meisten angeregten Zustände haben Lebensdauern von$10^{-8}-10^{-10}\mathrm{s}$, also verbreitert die Unsicherheit in der Energie die Spektrallinie leicht für eine Ordnung von ungefähr$10^{-4}Å$.

Die Antwort ist ja, das Atom absorbiert Strahlung, die nicht genau mit der Übergangsfrequenz übereinstimmt. Das liegt am Doppler-Effekt, den jeder von einem Krankenwagen mit Sirene kennt, der vorbeifährt. Die Frequenz, die Sie hören, ist höher, wenn der Krankenwagen auf Sie zufährt, und niedriger, wenn er von Ihnen wegfährt.

Genauso ist es mit dem Atom. Wenn sich das Atom bewegt (und das tut es, es sei denn, Sie kühlen es auf wirklich niedrige Temperaturen ab), wird die beobachtete Frequenz der Strahlung, in die Sie einstrahlen, abhängig von der Ausbreitungsrichtung des Lichts und der Richtung und Geschwindigkeit, in der sich das Atom bewegt (auf dem Skalar Produkt von beiden). Das von Ihnen beschriebene Phänomen wird als Doppler-Verbreiterung von Spektrallinien bezeichnet, und ich würde sagen, der Effekt kann mit dem Bohrschen Modell beschrieben werden, da es sich um einen rein klassischen Effekt handelt.

Die Technik, um diese verbreiterten Linien loszuwerden, wird als Doppler-freie Spektroskopie bezeichnet. Es verwendet einige coole Techniken, die Sie leicht googeln können.

Bearbeiten : Es gibt weitere Effekte der Erweiterung (wie die in seiner Antwort erwähnten m0nhawk). Aber unter normalen Bedingungen hat die Dopplerverbreiterung den größten Effekt von allen und überlagert die anderen.

Bearbeiten 2 : Wolfram Alpha bietet ein Tool zur Berechnung der thermischen Doppler-Verbreiterung. Es besagt, dass die Linie im obigen Bild ($486\mathrm{nm}$) bei$T=300\mathrm{K}$ist verbreitert$\Delta\lambda\approx 4\cdot10^{-2}Å$

Die Linienbreiten ergeben sich sehr natürlich aus den Maxwell-Gleichungen, indem das Atom als eine winzige klassische Antenne behandelt wird. Ich mache die Berechnungen für den 2p-1s-Übergang in Wasserstoff auf meiner Blogseite hier: The Semi-Classical Calculation

Die Idee ist, dass aus der Schrödinger-Gleichung die Überlagerung der s- und p-Zustände einen winzigen oszillierenden Dipol mit einer Länge von etwa 1 Angström, einer Frequenz von 2,5 x 10 ^ 15 Hz und einer Wellenlänge von 1200 Angström ergibt.

Aus dem Verhältnis der Antennengröße zur Wellenlänge lässt sich der Strahlungswiderstand leicht errechnen: Er liegt in der Größenordnung von 100 Mikroohm.

Der "Strom" in der Antenne kann abgeschätzt werden, indem man die Ladung des Elektrons multipliziert mit der Frequenz nimmt. Das ist nicht ganz richtig, aber es ist nah genug für das, was wir hier tun. Seltsamerweise kommt es für das Wasserstoffatom auf den scheinbar makroskopischen Wert von etwa 1 Milliampere heraus.

Die Leistung in der Antenne ist nur I-Quadrat-R, was uns 100 Pico-Watt gibt. Aber was ist mit der Energie im angeregten Zustand? Es ist 3/4 Rydberg, was ungefähr 0,000 001 Picojoule ausmacht. Die "Lebensdauer" des angeregten Zustands beträgt also eindeutig etwa 10-8 Sekunden.

Sie können mit der klassischen Analyse fortfahren, um Ihre Linienbreite zu erhalten, indem Sie das Verhältnis der "Lebensdauer" zur Einzelzykluszeit nehmen. In der Antennentheorie wird er als Q-Faktor bezeichnet. Oder Sie können die Sprache der Quantenmechanik verwenden, wie es andere Poster hier getan haben, und die Linienbreitenverbreiterung in Begriffen der Unschärferelation ausdrücken. Es ist genau dasselbe.

Aber Sie können die Unschärferelation erst anwenden, wenn Sie die Zerfallskonstante oder "Lebensdauer" berechnet haben. Und das kommt direkt aus der klassischen Antennentheorie.

BEARBEITEN: Ich habe gerade bemerkt, dass die akzeptierte Antwort behauptet, dass Sie die Linienbreite berechnen, indem Sie einfach das Heisenberg-Unsicherheitsprinzip anwenden. Das ist sicherlich ganz falsch. In dem angegebenen Beispiel wird die "Lebensdauer" als gegeben angenommen ... aber genau die Lebensdauer (die umgekehrt zur Linienbreite ist) wollen wir berechnen. Sie erhalten die Linienbreite nicht, indem Sie Heisenberg auf die Lebensdauer anwenden ... Sie erhalten sie, indem Sie die Lebensdauer durch die Lichtgeschwindigkeit teilen. Und das wirft die Frage auf ... wie hast du die Lebenszeit bekommen?

Wie ich bereits erklärt habe, erhält man die Lebensdauer, indem man die klassischen Antennengleichungen auf das schwingende Atom anwendet. Es ist eine sehr klassische Berechnung.