Gebogene Tunnel

Es stellt sich heraus, dass ein längerer Pfad tatsächlich schneller sein kann als der geradlinige Pfad. Der schnellstmögliche Pfad in einer gleichmäßig dichten Erde ist eine Hypozykloide . Wir können diesen Pfad wie folgt parametrisch definieren:

$$x = (R-r)\cos\theta + r\cos\left(\frac{r-R}{r}\theta\right) \\ y = (R-r)\sin\theta + r\sin\left(\frac{r-R}{r}\theta\right)$$

$R$ist der Radius des Planeten, und$r$ist der 'Radius' einer einzelnen Schleife der Zykloide.$\theta$geht von$0$zu$2\pi r/R$über eine einzelne Schleife. Zum Beispiel der Fall$R=1,\ r=0.1$sieht aus wie das:

Geometrische Eigenschaften

Wir können integrieren, um die Länge zu finden$S$einer Schleife:

$$S = \int |d\vec{s}| = \int_0^{2\pi r/R} \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial\theta}\right)^2}d\theta \\ = \int_0^{2\pi r/R} 2(R-r)\sqrt{\sin^2\left(\frac{R}{2r}\theta\right)}d\theta \\ = 8r(1-\frac r R)$$

Der Endpunkt hat Koordinaten:

$$x = R\cos\left(2\pi\frac r R\right) \qquad y = R\sin\left(2\pi\frac r R\right)$$

Dies bedeutet, dass der Abstand über die Oberfläche$d$ist:

$$d = R\times 2\pi\frac r R=2\pi r$$

Bewegungsgleichungen

Zuerst berechnen wir die Distanz$\rho$vom Mittelpunkt des Planeten:

$$\rho^2 = x^2+y^2 \\ \rho^2 = 2r^2-2rR+R^2+2r(R-r)\cos\left(\frac R r\theta\right) \\ \rho^2 = R^2-2r(R-r)\left(1-\cos\left(\frac R r\theta\right)\right)$$

Dann berechnen wir die Geschwindigkeit$v$als Funktion der Änderungsrate von$\theta$:

$$v^2 = \dot x^2 + \dot y^2 \\ v^2 = 2(R-r)^2\left(1-\cos\left(\frac Rr\theta\right)\right)\dot\theta^2$$

Wir können die Gesamtenergie des Zuges (pro Masse) berechnen als:

$$\frac{v^2}2 + \frac g{2R}\rho^2$$

Wo$g$ist die Oberflächengravitation des Planeten. Setzen Sie unsere obigen Ausdrücke ein und fügen Sie die Anfangsbedingungen hinzu$\theta=0,\ \dot\theta=0$, und auflösen nach$\dot\theta$gibt uns:

$$\dot\theta = \sqrt{\frac{gr}{R(R-r)}}$$

Daher ist die Bewegungsdauer über eine Schleife:

$$T = \frac{\Delta\theta}{\dot\theta} = 2\pi\frac rR\sqrt{\frac{R(R-r)}{gr}} = 2\pi\sqrt{\frac{(R-r)r}{gR}}$$

Für die Erde ergibt sich so eine Kurve:

Sie können sehen, dass die Zeit für den Grenzfall der Reise auf die andere Seite der Erde (wo die Zykloide zu einer geraden Linie degeneriert) 42 Minuten und 14 Sekunden erreicht. Wir können die Entfernung durch diese Zeit dividieren, um eine äquivalente Geschwindigkeit zu erhalten; das heißt, wie schnell Sie um die Oberfläche herumgehen müssten, um die gleiche Zeit zu erreichen:

Im Erddurchgangsfall reicht die Geschwindigkeit$\sqrt{gR}$,$7.9~\text{km}/\text{s}$. Dies entspricht zufällig der Orbitalgeschwindigkeit, was bedeutet, dass ein oberflächengleitender Satellit zur gleichen Zeit wie ein geradliniger Gravitationszug auf die andere Seite gelangt.

Im Falle einer Reise von New York nach Los Angeles ($d=3914~\text{km}$):

• Die Spurlänge ist$4500~\text{km}$
• Die maximale Tiefe ist$1250~\text{km}$
• Die äquivalente Oberflächengeschwindigkeit ist$2.6~\text{km}/\text{s}$
• Die Höchstgeschwindigkeit ist$4.7~\text{km}/\text{s}$
• Die Spitzenbeschleunigung ist$1.8~g$
  • Die Beschleunigung ist an beiden Enden null (freier Fall) und hat ihren Höhepunkt in der Mitte der Strecke. Spitzenwert ist$2~g$für eine sehr kurze Strecke, und nimmt linear mit der Länge ab$0~g$(freier Fall) für eine Spur durch die Erde.
• Das Verhältnis$r/R$handelt von$0.098$, was bedeutet, dass das Bild der Hypozykloide am Anfang der Form dieser Spur ziemlich nahe kommt.

Praktische Probleme

• Ein solcher Tunnel ist unmöglich zu bauen, da kein bekanntes Material der Hitze und dem Druck im Mantel des Planeten standhalten könnte.
• Jegliche Luftreibung oder Reibung mit dem Tunnel wird den Zug verlangsamen und er wird nicht in der Lage sein, die andere Seite ohne Antrieb zu erreichen.

Geht man von einem Erdradius von 6378 km aus, würde ein Bogen von 4000 km einen Bogen von etwa 36 Grad darstellen, sodass die direkte Linie zwischen den Punkten (dh die Länge des Tunnels) etwa 3935 km lang wäre. Interessanterweise, wenn Sie davon ausgehen, dass die Erde eine einheitliche Dichte hat (nicht wirklich wahr, aber keine schreckliche Annäherung dafür), ist die Reisezeit für den Zug zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Erde gleich, etwa 42 Minuten . Die Höchstgeschwindigkeit hängt von den Punkten ab und würde ein bisschen High-School-Physik erfordern, um sie zu erarbeiten (wenn jemand sie in den Kommentaren hinzufügen möchte, werde ich sie in die Antwort aufnehmen.)

Bearbeiten: Ich habe vergessen hinzuzufügen, dass sich der Tunnel mit den obigen Berechnungen etwa 300 km unter der Oberfläche erstrecken würde, was etwa der zehnfachen Dicke der Erdkruste entspricht. Auch um das klarzustellen, ist dies mit gegenwärtigen technischen Techniken sehr undurchführbar. Die Tiefen, der damit verbundene Druck, die Reibung und andere Probleme bedeuten, dass wir davon weit entfernt zu sein scheinen.

Auf die gleiche Idee bin ich vor etwa 20 Jahren als Gedankenexperiment gekommen und habe auch auf die 42 Minuten Fahrzeit gerechnet!

Aber ich möchte darauf hinweisen, dass der Tunnel keine gerade Linie sein muss, zumal er tiefer als die Erdkruste führen würde. Sie können einen 1000-Fuß-Absturz (in einem für die Passagiere nicht erschreckenden Winkel) haben, um auf Geschwindigkeit zu kommen, und dann den größten Teil der Strecke „waagerecht“ fahren, bevor Sie am Ende hochfahren.

Und um den Rollkoeffizienten zu vermeiden, empfehle ich die Magnetschwebebahn.