Wärmeübertragung zwischen zwei Oberflächen

Ich werde dem, was Achmeteli gesagt hat, einige mathematische Details hinzufügen.

Beschränken wir die Diskussion auf eine Dimension mit Koordinate$x$, dann sagt das Fouriersche Gesetz in Differentialform

$$q(x) = -k(x) T'(x)$$ Wo $q(x)$ist der lokale Wärmefluss, $k(x)$ist die Leitfähigkeit, und $T(x)$ist der Temperaturgradient. Beachten Sie, dass das Fouriersche Gesetz zeigt, dass an einem bestimmten Punkt die Ableitung der Temperatur wichtig ist, aber Ableitungen einer Funktion vom Wert dieser Funktion in der Umgebung dieses Punktes abhängen, nicht nur vom Wert der Funktion an diesem bestimmten Punkt. Daher lautet die (nicht ganz explizite) Antwort auf Ihre Frage, dass Sie beides benötigen $k$'s an einem Punkt, wo zwei Materialien mit unterschiedlichen $k$in Kontakt sind. Sehen wir uns jetzt die Mathematik an.

Wenn Sie auf einen Punkt schauen$x_0$bei dem zwei Materialien mit unterschiedlichen Leitfähigkeiten verbunden werden (z$k_a$entspricht$x<x_0$Und$k_b$entspricht$x>x_0$, Dann$k(x)$hat eine Sprungunterbrechung, die mit der Heaviside-Schrittfunktion geschrieben werden kann$\theta(x)$;

$$k(x) = (k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a$$ Daraus ergibt sich folgende Differentialgleichung: $$q(x) = -[(k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a] T'(x)$$ Welche Sie in einem bestimmten Fall zu lösen versuchen können. Betrachten wir zum Beispiel ein stationäres System, in dem $q(x) = q_0$eine Konstante ist und für die wir den Temperaturgradienten bestimmen wollen. Nehmen wir an, dieses System besteht aus Metallstäben, die an der Spitze verbunden sind $x_0$und deren Endpunkte sich befinden $x_0-L$Und $x_0+L$bzw. Außerdem nehmen wir an, dass diese anderen beiden Endpunkte auf einer Temperatur gehalten werden $T_0$In diesem Fall die Differentialgleichung, nach der wir auflösen möchten $T(x)$Ist $$q_0 = -[(k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a] T'(x)$$ mit den Randdaten $$T(x_0-L) = T_0,\qquad T(x_0+L) = T_0$$ Die Differentialgleichung, die wir lösen wollen, kann als Satz von zwei Gleichungen umgeschrieben werden, eine für $x<x_0$und eine andere für $x>x_0$; $$q_0 = -k_a T_a'(x), \qquad q_0 = -k_b T_b'(x)$$ Die allgemeinen Lösungen sind $$T_a(x) = T_0-\frac{q_0}{k_a} [x-(x_0-L)], \qquad T_b(x) = T_0-\frac{q_0}{k_b} [x-(x_0+L)]$$ und die Temperatur überall außer bei $x=x_0$kann geschrieben werden als $$T(x) = (T_b(x) - T_a(x))\theta(x-x_0) + T_a(x)$$ Beachten Sie insbesondere, dass es bei der Temperatur einen Sprungsprung gibt $x=x_0$; $$T_b(x_0) -T_a(x_0) = q_0 L\left(\frac{1}{k_b}-\frac{1}{k_a}\right)$$ und diese Diskontinuität hängt von beiden ab $k$Werte, nicht nur der Wert auf einer bestimmten Seite. Beachten Sie weiter, dass wenn $k_a = k_b$, dann verschwindet die Diskontinuität, wie Sie es vielleicht intuitiv erwarten!

Hoffentlich hilft das! Lassen Sie mich alle Tippfehler wissen.

Beifall!