Wann ist ein Strömungswirbel frei?

Als erstes ist es wichtig zu verstehen, dass Vortices und Vorticity trotz der Ähnlichkeit der Wörter nicht dasselbe sind. Ein Wirbel ist ein Bereich in einer Strömung mit rotierenden Merkmalen (in einem ziemlich großen Maßstab, wenn Sie möchten), der jedoch nicht rotieren kann (keine Wirbel). Vorticity ist eine lokale Eigenschaft des Fluids, die Rotationsgeschwindigkeit eines imaginären Partikelfluids an diesem Punkt. Eine viskose Strömung zwischen zwei Platten ist tatsächlich rotierend (Vorticity ungleich Null), obwohl sie laminar (geschichtet) ist.

Um Ihre Frage zum Potentialfluss zu beantworten . Eine Potentialströmung ist eine Strömung, bei der das Geschwindigkeitsfeld von einem Potential herrührt. In 2D zum Beispiel hätten wir angesichts des Geschwindigkeitspotentials$\phi$:

$$u = \frac{\partial}{\partial x} \phi\\ v = \frac{\partial}{\partial y} \phi$$ Eine solche Strömung ist notwendigerweise rotationsfrei ( $\nabla \wedge \vec{u} = 0$), seit $$-\frac{\partial}{\partial y}u+\frac{\partial}{\partial x}v = -\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}\phi + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\phi = 0$$ Beachten Sie, dass es uns nichts direkt über Wirbel sagt.

Aber woher wissen wir, ob wir überhaupt einen potenziellen Fluss vermuten sollen? Ein klares No-Go sind viskose Strömungen mit rutschfesten Grenzen. Eine rutschfeste Grenze (in einem Bezugssystem, in dem die Grenze ruht) ist gekennzeichnet durch

$$\vec{u}\vert_\text{boundary} = 0$$ Die Flüssigkeit in Kontakt mit der rutschfesten Grenze (im Folgenden nur „Wand“) bewegt sich nicht, aber die etwas darüber liegende. Wenn die Wand parallel zur $x$-Achse, dann bedeutet dies, dass die Variation der Strömung in der $y$-Achse muss ungleich Null sein: $$\frac{\partial}{\partial y} u \neq 0$$ sonst würde sich die Flüssigkeit nie bewegen. Aber sobald du das hast, dann natürlich $\omega= \nabla \wedge \vec{u} \neq 0$zu! Bei einer viskosen Flüssigkeit wird an einer Wand immer Wirbel erzeugt.

Bei nicht viskosen Strömungen sind die Wände durch die Bedingung gegeben

$$\vec{u}\cdot\vec{n}\vert_\text{boundary} = 0$$ dh es darf keine Strömung durch die Wand gehen, aber sie kann durchaus ohne Geschwindigkeitsverlust tangential gleiten. Bei einer vernünftigen Geometrie kann sich die Strömung bewegen, es sollte keine Verwirbelung geben. Ich würde nicht darauf wetten, was passiert, wenn Sie eine perfekte Flüssigkeit in eine geschlossene Box blasen: Kaum zu glauben, dass die Strömung, die auf die Boxwände (was mit den Ecken und allem) auftrifft, nicht rotierend wäre, aber ich müsste es überprüfen .

Es gibt noch einen weiteren Mechanismus, der eingeführt werden kann$\partial_y u\neq0$oder$\partial_x v \neq 0$: ganz bestimmte Körperkräfte. Das ist eigentlich eines der Mittel, mit denen Sie Turbulenzen in einem periodischen Fluidkasten ( dh ohne Wände) untersuchen können: Sie erzeugen Scherung durch eine zufällige Körperkraft. Aber die werden Sie in den meisten Fällen nicht sehen.

In Anwendungen wird der potentielle Fluss insbesondere in der Annäherung an die reibungsfreie Strömung um Profile herum verwendet, wobei sich die Strömung rundum bis ins Unendliche erstreckt (unter Vermeidung des oben erwähnten "Box-Szenarios"). Sie hätten höchstens die Schwerkraft, aber das ist in den meisten Annäherungen ein schönes gleichmäßiges Feld.

Darüber hinaus bleibt in 2D eine rotationsfreie reibungsfreie Strömung nach dem Kelvin-Zirkulationssatz zeitlich rotationsfrei . Gutes Zeug. Schon mal bemerkt, dass wir Tragflächen immer in 2D untersuchen? Interessant.

(Es gibt einen weiteren Grund für die Untersuchung von Tragflächen in 2D: Der Auftrieb eines Flügelabschnitts pro Längeneinheit wird eigentlich ziemlich gut vorhergesagt, während der Auftrieb in 3D-Reibungsströmungen immer Null ist! Siehe diese andere Frage . Hier setzen fortgeschrittenere Methoden an wenn Sie müssen sowieso Sachen in 3D berechnen.)

Wenn ich etwas verpasst habe, stellen Sie mir einige Fragen in den Kommentaren und ich werde versuchen, die Antwort zu aktualisieren.

Du verwechselst Begriffe. Es wird nie angenommen, dass eine Strömung wirbelfrei ist. Ein Wirbel ist ein allgemeiner Begriff, der verwendet wird, um eine Flüssigkeit zu beschreiben, die sich um eine Achse dreht. Potenzieller Fluss verwendet die Annahme, dass ein Fluss drehungsfrei ist oder

$$\vec{\omega} =\vec{\nabla}\times\vec{U} = 0$$ Irrrotationsströmungen können tatsächlich aus Wirbeln zusammengesetzt sein. Was für manche Menschen noch verwirrender ist, ist, dass eine einfache Scherströmung trotz der Tatsache, dass sie keine physikalische Rotation beinhaltet, nicht rotationsfrei ist.

Die Rechtfertigung hinter der Gültigkeit der Annahme der Rotationsfreiheit für einige inkompressible Strömungen kann durch die Vorticity-Evolutionsgleichung gesehen werden

$$\frac{D\vec{\omega}}{Dt}=\nu\nabla^2\vec{\omega} + \vec{\omega}\cdot\nabla\vec{U}$$ Diese Gleichung zeigt, dass Regionen, die drehungsfrei beginnen, dazu neigen, dies zu bleiben, wenn keine äußere Wechselwirkung auftritt, die zu einer Diffusion von Wirbeln in drehungsfreie Zonen führt.

Die Viskosität wirkt benachbarten Flüssigkeitsschichten entgegen, die sich aneinander vorbeibewegen. Wenn Sie einen Wirbel hätten, dann sollten die rotierenden Flüssigkeitsschichten bei unterschiedlichem radialen Abstand unterschiedliche Geschwindigkeiten haben, um zu vermeiden, dass sie sich aneinander vorbei bewegen. Stellen Sie sich vor, Sie drehen die Flüssigkeit, um einen Wirbel zu erzeugen ... damit sich ein Wirbel bildet, möchten Sie, dass die Flüssigkeit mit einem kleineren Radius die Flüssigkeit mit einem größeren Radius mitzieht und sie rotiert. Andernfalls können Sie keine Wirbel erzeugen. Wenn Sie also keine Viskosität haben, können Sie keine Wirbel erzeugen.

Viskosität bedeutet nicht immer Wirbel, da Sie die Flüssigkeit einer schönen laminaren Strömung aussetzen könnten. Typischerweise bilden sich nur dann Wirbel, wenn Sie eine Flüssigkeit umrühren oder irgendwie "zwingen". Bei höheren Reynolds-Zahlen, bei denen die Strömung turbulent wird, können die Dinge jedoch ganz anders werden, und ich habe keine Kontrolle darüber.

Ich schlage ein (Gedanken-)Experiment vor. Sie könnten dies tatsächlich durchführen und überprüfen, wenn Sie möchten. Ich bin gerade auf diese Idee gekommen und habe dieses Experiment nicht gemacht. Wenn also jemand versucht, dies aufzuführen, würde ich gerne davon hören.

Aus Dichte, Druck und Viskosität lässt sich durch Dimensionsanalyse eine Zeitskala generieren. Wenn Sie versuchen, eine Flüssigkeit schneller als diese Zeitskala zu rühren, werden Sie (vermutlich) bemerken, dass sie beginnt, einen Wirbel zu bilden, aber nicht, wenn Sie langsamer rühren. Alternativ sollte es (aus Sicht der Rührgeschwindigkeit) "einfacher" sein, in viskoseren Flüssigkeiten Wirbel zu bilden. Beachten Sie, dass "einfacher" im Sinne der Rotationsgeschwindigkeit beim Rühren ist. Für eine dichtere Flüssigkeit müssen Sie sich beim Rühren für die gleiche Geschwindigkeit mehr anstrengen.